Vektorraum über Restklassenkörper

Question

Ich habe einige Fragen bezüglich folgender Aufgabe:

Sei ℤ5 der Körper mit 5 Elementen, V b₃ , b₄ ,

 ein vierdimensionaler ℤ5 Vektorraum und B=(b₁,b₂,b₃,b₄) eine Basis von V. Des weiteren sei die lineare Abbildung gegeben durch: f(b1)=b2 , f(b2)=b3 , f(b3)=b4 , f(b4)=b1.

Geben Sie die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis B an und berechnen sie das charakteristische Polynom.

Ist die dazugehörige Darstellungsmatrix ...?

0	0	0	1
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0

Wenn ja, was folgt dann für das charakteristische Polynom?

Comments

Beziehungsweise wie weiß ich beim charakteristischen Polynom, welcher Eigenwert eine doppelte Nullstelle ist ?

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An der algebraischen Vielfachheit.

Answer 1

Matrix M stimmt und char Polynom ist

x^4 - 1 = (x^2 - 1) * ( x^2 + 1 )

            = (x-1)*(x+1) * ( x^2 + 1 )  So kann man das über jedem Körper zerlegen.

Beim Z5 muss man nun den letzten Faktor genauer betrachten, wie er sich zerlegen läßt.

Also ob -1 eine Quadratzahl ist, dem ist so 2^2 = 4 = -1 also

(x^2 + 1) = ( x-2)*(x+2) = x^2 - 4 = x^2 + 1

also char Polynom =   (x-1)*(x+1) * ( x-2)*(x+2) = (x-1)*(x-4) * ( x-2)*(x-3)

Ich hab das Gefühl es gibt 4 verschiedene Eigenwerte ???