Eigenwerte und Eigenvektoren einer Householder Matrix

Question

Wie bestimmt man die Eigenwerte und eigenvektoren und die Determininante einer Householder Matrix A := I - ( 2v*v^t/v^t*v )?? Dabei ist I die Einheitsmatrix

Ich weiß zwar wie man Eigenwerte berechnet aber bei dieser Matrix kann ich mir das nicht vorstellen , kann man überhaupt mit dem charakterisitischen Polynom lösen ??

Hoffe jemand einen Lösungsansatz für mich

Answer 1

Hi,
sei
$$A = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v}$$ dann gilt
$$Av = v - 2 \frac{v v^T}{v^T v} v = v - 2v = -v$$
D.h. $v$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $-1$
Sei $u$ ein Vektor senkrecht zu $v$, dann gilt
$$Au = u - 2 \frac{v v^T}{v^T v} u = u$$
Also haben alle Vektoren senkrecht zu $v$ einen Eigenwert $1$
D.h. zusammengefasst, es gibt einen Eigenwert mit dem Wert $-1$ und Eigenvektor $v$ und einen (n-1)-fachen Eigenwert mit Wert $1$ und Eigenvektoren die senkrecht zu $v$ stehen. Der Unterraum der senkrecht zu $v$ stehenden Vektoren hat die Dimension (n-1). Z.B. kann man als Eigenvektoren die Basisvektoren diese Unterraums nehmen.

Comments

Ich hab das jetzt nicht wirklich verstanden Was du mit senkrecht und dem n-1 fachen eigenwert meinst

Wenn du mir das etwas erklären könnten wäre das super :/

---

Hi,

das $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ ist, ist klar?

Zu dem Unterraum der senkrecht zu $v$ ist.

Du hast einen n-dimensionalen Raum und ich setzte mal Voraus das $n \ge 2$ ist. n=1 ist trivial. Dann kann man immer Vektoren $u$ finden die senkrecht zu $v$ stehen. Nimm so einen Vektor und rechne nach das gilt

$$Au = u - 2 \frac{v v^T}{v^T v}u = u - 2 \frac{v v^T u}{v^T v}$$ Da $v$ und $u$ senkrecht zueinander sind ist das Skalarprodukt Null also $v^T u = 0$

Damit gilt

$$Au = u$$ Also ist $u$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$. Da der Raum n-dimensional ist ist der Unterraum (n-1)-dimensional, also gibt es (n-1) unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $1$ und deshalb gibt es den Eigenwert $1$ (n-1) mal.

---

Oben hast du aber geschrieben das v ein eigenwert von -1 eins ist ??

---

Das war ein Tippfehler, ich korrigiere das.

---

Ah ok jetzt hab ich es verstanden danke sehr :)