0 Daumen
2k Aufrufe

f(x)=y=ex

x=log(y)

Der ln ist ja die Umkehrfunktionen.

Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist? Graphisch kann man das ja ablesen, irgendwo zwischen 1 und 2 wahrscheinlich.

Wie geht das aber algebraisch?

von 3,5 k

https://de.wikipedia.org/wiki/Abstand

Zitat:

"Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die LĂ€nge der kĂŒrzesten Verbindungslinie der beiden GegenstĂ€nde, also der Abstand der beiden einander nĂ€chstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nĂ€chstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte."

3 Antworten

+2 Daumen

Die Funktionen sind zueinander Spiegelsymmetrisch zur ersten Hauptdiagonalen. Der Abstand zur Hauptdiagonalen ist am kleinsten wo die Funktion die gleiche Steigung also die Steigung 1 hat.

~plot~exp(x);ln(x);x;1-x~plot~

von 294 k

>  Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist?    Graphisch kann man das ja ablesen, irgendwo zwischen 1 und 2 

Die BegrĂŒndung der Antwort erscheint mir doch mehr fĂŒr diesen Sonderfall der Anschauung entnommen als gerechnet.

Zum Beispiel haben x2 und √x  ( Umkehrfunktion auf ℝ0+ ) ihren kleinsten Abstand in ihren gemeinsamen Punkten auf der 1. Winkelhalbierenden. Ihre Steigung ist dort aber jeweils verschieden.

Betrachte die Denkweisen der analytischen Geometrie. Sonderfall sind sich schneidende Graphen. Dann wird der Abstand der Graphen Null. Ansonsten werden AbstÀnde Senkrecht zum Graphen gemessen.

Nimm also z.B. die Funktionen

y1 = x^2 + 1

y2 = √(x - 1)

Wo haben die ihren kleinsten Abstand. Das ist dort wo die Steigungen gleich 1 sind. Das auszurechnen ĂŒberlasse ich aber gerne dir. Exakt eingezeichnet ist es. Ich habe es also auch ausgerechnet.

~plot~x^2+1;sqrt(x-1);x;-(x-0.5)+1.25~plot~

Das lÀsst sich so mit allen Umkehrfunktionen machen.

Du hast mich im Prinzip ĂŒberzeugt :-)

Aber.

>  Das ist dort wo die Steigungen gleich 1 sind    (Sind sie eben nirgends)

Ich bleibe dabei:  Das Wort "wo" ist unklar.

0 Daumen

Hallo,

> Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist?

"Wo" klingt eigentlich mehr nach einer gesuchten Stelle x, (Aber deren aufwÀndige Berechnung und die Wahl der beiden Funktionen legen Mathecoachs Interpretation der nach meiner Meinung unklaren Frage nahe)

f(x) = ex ,  g(x) = ln(x)

Abstand beider Funktionenan an  einer Stelle x:

 d(x) =  | ex - ln(x) | = ex - ln(x)   (wegen ex > ln(x) fĂŒr alle x.

d'(x) = ex - 1/x = 0  mit  VZW von - → +  ergibt die Minimalstelle.

diese Gleichung kann wohl nicht explizit nach x auflösen:

Man benutzt  ein numerisches NÀherungsverfahren, zum Beispiel das

Newtonverfahren:

die unten genannte Funktion f ist hier d'  (f ' = d'')

gesucht sind die Nullstellen von f(x) = ex - 1/x:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte  verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

[ Rechnerlösung: x = 0,5671432904 ] 

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang

von 82 k

 d(x) =  | ex - ln(x) |

Dieses wÀre nur der vertikalen Abstand der Funktionen an einer Stelle x. Der Abstand verlÀuft allerdings nicht notwendigerweise senkrecht im Koordinatensystem sondern senkrecht zu beiden Funktionen.

Die Frage ist wohl : was ist der Abstand zwischen 2 Funktionen ?

Ist es der  Unterschied der Funktionswerte an einer Stelle x ?
( Wolfgang )

Von der Alltagssprache betrachtet :

Sind 2 UferverlĂ€ufe eines Flusses gegeben ist : wo ist der Fluß am
schmalsten ? ( mathecoach )

Ich habe gerade einmal im Internet nachgeschaut.

In allen ErklÀrungen wird der senkrechte Abstand / Differenzfunktion
zwischen 2 Funktionen  berechnet.

Anders schaut es aber beim Abstand zwischen Funktion und
einem Punkt aus.

Was ist der Abstand der Funktionen 

y1 = x und

y2 = x + 1

Achtung. Es ist nicht gefragt wie der Abstand der Funktionswerte an einer Stelle x ist.

Wenn nach dem Abstand gefragt ist darf hier also nicht nur eine Stelle betrachtet werden. Wenn in Aufgaben mit dem Abstand der Funktionswerte gerechnet wird wird dies auch so kommuniziert. Dann spricht man nicht vom Abstand der Funktionen.

Wenn nach dem Abstand gefragt ist ...

... sollte die Metrik auf dem entsprechenden Funktionenraum angegeben werden, bezĂŒglich derer Abstandsberechnungen vorzunehmen sind.
Hallo mathecoach,
Zitat :
Die vermutlich hÀufigste Variante von Extremwertaufgaben ist der Unterschied
zwischen zwei Funktionen. Es geht hierbei um den senkrecht gemessenen
Abstand zwischen zwei Funktionen.

Dies ist die weitaus ĂŒblichste Annahme und die ĂŒblichste Fragestellung.

Die Aufgabe kann aber auch so wie du es annimmst verstanden werden.

Als Lösung einer Klassenarbeitsaufgabe  bekÀmen von mir sowohl Wolfgang als
auch du die volle Punktzahl.

Das Ganze ist mehr ein sprachliches Problem als ein mathematisches.

Wie groß ist im Ärmelkanal der geringste Abstand zwischen  England und
Frankreich ? muß mit deiner Lösung beantwortet werden.

Die vermutlich hÀufigste Variante von Extremwertaufgaben ist der Unterschied 
zwischen zwei Funktionen. Es geht hierbei um den senkrecht gemessenen 
Abstand zwischen zwei Funktionen. 

Dann wird das aber auch so gefragt !

Oder hast du ein Beispiel wo dort tatsÀchlich nur Abstand steht ?

Generell sind (lokale) Extrempunkte einer Funktion die Hoch und Tiefpunkte die Stellen wo der Abstand zur x-Achse in einem Intervall maximal oder minimal wird. Der Abstand zur x-Achse wird aber immer senkrecht zu ihr gemessen.

Ich erinnere mich an eine Aufgabe wo ein LKW durch einen Parabelförmigen Tunnel fÀhrt. Dort war nach dem Abstand zwischen dem LKW und der Tunnelwand gefragt.

Bild Mathematik

Und da ist natĂŒrlich weder der horizontale noch der vertikale Abstand gefragt.

Meine Skizze ist nicht die ursprĂŒngliche aus der Aufgabe. Aber es sollte gut zu erkennen sein was gemeint ist. LE im Koordinatensystem sei 1 m

Nach nochmaliger Durchsicht der Beispiele im
Internet schlÀgt das Pendel insgesamt zu deinen Gunsten aus.

Das von Wolfgang angefĂŒhrte " wo " in der Fragestellung  könnte
man allerdings auch auf eine x-Stelle und damit auf den vertikalen
Abstand beziehen.

So. Und nun ist Schluß mit der Frage.

mfg Georg

0 Daumen

Hi,
ich denke der kleinste Abstand zweier Funktionen ist so definiert, das der Abstand zweier beliebigen Punkte, die jeweils auf den Funktionsgraphen liegen, minimal wird im Sinne der euklidischen Norm.
Also wenn das Funktional

$$ F(x_1,x_2) = \left\| \begin{pmatrix} x_1\\f(x_1) \end{pmatrix} -  \begin{pmatrix} x_2\\g(x_2) \end{pmatrix} \right\|_2^2 = (x_1-x_2)^2 + (f(x_1)-g(x_2))^2  $$

minimal wird.


Das fĂŒhrt zu folgenden Gleichungen
$$ (1) \quad 2(x_1-x_2)+2[f(x_1)-g(x_2)]\frac{d}{dx_1}f(x_1) = 0 $$ und
$$ (2) \quad -2(x_1-x_2)-2[f(x_1)-g(x_2)]\frac{d}{dx_1}f(x_2) = 0 $$
Das ist im allgemeinen ein nichtlineares Gleichungssystem fĂŒr \( x_1 \) und \( x_2 \) welches nur numerisch gelöst werden kann. Im Beispiel ergibt sich als Lösung \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = 1 \). Daraus folgt dann, das der kĂŒrzeste Abstand zwischen den beiden Graphen \( d = \sqrt{2} \) betrĂ€gt und an den berechntete Punkten angenommen wird.

von 24 k

So mĂŒsste man es dann  bei zwei Funktionen ohne den "Umkehrfunktionszusammenhang"  machen.

FĂŒr f und f-1 hat mich Mathecoachs Lösungsvorschlag inzwischen ĂŒberzeugt.


.

Hi,

was ist das oben fĂŒr Ansatz? Was bedeuten die zwei Striche links und rechts neben x1- x2 und f(x1)-f(x2) und das Quadrat dahinter?

Und wie kommst du ausgehend davon auf die zwei Gleichungen?

Hi,

die zwei Striche sind das Zeichen fĂŒr eine Norm. Hier euklidische Norm. Wird in der Regel mit einer tief gestellten 2 gekennzeichnet. Ich habe das noch korrigiert. Und das Quadrat habe ich genommen, damit die Wurzel wegfĂ€llt, dann geht das mit den partiellen Ableitungen leichter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm

Und die Gleichungen ergeben sich aus

$$ (1) \quad \frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2) = 0  $$ und 

$$ (2) \quad \frac{\partial}{\partial x_2}F(x_1,x_2) = 0  $$

Das sind die notwendigen Bedingungen fĂŒr das vorliegen eines Extremwertes fĂŒr eine Funktion mit zwei Unbekannten. Wenn man es richtig machen will muss noch die Hesse Matrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

ausgerechnet werden und nach gewiesen werden, dass Sie positiv definit ist. Dann liegt ein Minimum vor. Das habe ich mir hier gespart.

Hier einmal meine Skizze

Bild Mathematik 

Es lÀuft also auf eine partielle Ableitung hinaus.
Die Wurzel kann weggelaasen werden, da nur die Extremwerte
gesucht werden.

Mein Matheprogramm kann allerdings fĂŒr die vergleichsweise
simplen Funktionen der Fragestellung keine Lösung finden.

Ich nutze Mathcad bzw. Matlab und die haben kein Problem. Ich denke mit R sollte es auch gehen. Mit GeoGebra habe ich keine Erfahrungen.

Soweit kann ich das nachvollziehen. Aber warum ist bei der Gleichung 1 das Vorzeichen anders wie bei der Gleichung 1, also jeweils -2 und -2?

Und welche Ableitungsregel liegt hier zugrunde? Eine Verlinkung auf ein Video oder eine Seite genĂŒgt mir.

Hi,

Gleichung (1) stammt von $$ \frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2) = 0  $$ und Gleichung (2) von

$$ \frac{\partial}{\partial x_2}F(x_1,x_2) = 0  $$

Bei (1) muss man die Kettenregel fĂŒr \( x_1 \) anwenden und das ergibt bem nachdifferenzieren eine \( +1 \) und bei der zweiten Gleichung wird nach \( x_2 \) differenziert und das ergibt die \( -1 \) beim nachdifferenzieren.

Alles klar. Und fĂŒr was steht das (d/dx1)*f(x1) in der ersten Gleichung bzw. mit x2 in der zweiten Gleichung?

Sorry fĂŒr die Fragen, aber ich hatte halt noch keine höhere Mathematik und kenne mich mit den abstrakten Darstellungsmethoden noch nicht aus.

Das ist die erste Ableitung nach den einzelnen Variablen.

Soweit kann ich das nachvollziehen.

Wie löse ich das Gleichungssystem? Du meintest numerisch, kann man das trotzdem selbst (per Hand) ausrechnen?

Im allgemeinen nicht und in diesem speziellen Fall ist es mir auch nicht gelungen, aber das hÀngt von den Funktionen ab.

Mit welchem Programm oder welcher Seite hast du das gelöst?

Probier das doch mal bei Wolframalpha. Der rechnet ja eigentlich ziemlich viel von dem was möglich ist. 

Aber wie gesagt fĂŒr einfache FĂ€lle kann man sich das Vereinfachen. 

Ich hĂ€tte eventuell sogar noch einen anderen Ansatz genommen. Man könnte zwei Punkte des Graphen suchen an denen die Steigungen ĂŒbereinstimmt. Ist die Verbindungslinie gleichzeitig die Normale dann wĂŒrde ich denken der Abstand wird minimal.

Aber mit schwierigen Funktionen habe ich das auch nie berechnet. Das Problem hat man auch eigentlich nicht bis zur Oberstufe.

Ich benutze Mathcad und Matlab, je nach Aufgabenstellung. Ist sicher besser als Wolfram, wenn man es als eine Investion in Zukunft betrachtet und nicht nur fĂŒr das Lösen einer Aufgabe im Studium oder Schule.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...