Schnittwinkel ausrechnen?

Question

Hey Zusammen,

Ich habe da eine Frage an euch. Ich soll den Winkel, unter denen sich zwei Funktionen schneiden berechnen.

Ich habe die Funktion

f(x) =x^3-3x^2+4

f'(x) = 3x^2-6x => f'(1)=3*1^2-6*1= -3

g(x)= -2x+4

g'(x)= -2 => g'(1)=-2

Der Schnittpunkt ist S (1/4)

Ich habe die Formel verwendet :

tan α = m1-m2/ 1+m1*m2

tan α =-3+2/1+(-3)*(-2)

tan α =    -1/7

= -0,142857

α= arctan (-0,142857) = -8,13009°

 Ist das richtig?

Ich verstehe leider nicht, wie das Buch in den Lösungen gerechnet hat:

g'(1)=-2 α=116,6°

f'(1)=-3  β=108,4

γ=8,2°

Ist das jz falsch, was ich gerechnet habe? Könnte mir das bitte jemand erklären?

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Comments

Die Steigung für f bei x = 1 : -3 entspricht -71.57 °
Die Steigung für g bei x = 1 : -2 entspricht -63.43 °

Die Differenz ist | 71.57 - ( - 63.43 ) |  = 8.14 °

~plot~ x^3 - 3*x^2 + 4 ; -2*x + 4 ; [[ 0 | 2 |  0 | 4 ]] ~plot~

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Warum wurde das "-"  ausgelassen "Die Differenz ist | 71.57 - ( - 63.43 ) |  = 8.14 °" Das - bei 71,57

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Die Differenz ist | 71.57 - ( - 63.43 ) |  = 8.14 °

Korrektur

Die Differenz ist | - 71.57 - ( - 63.43 ) |  = 8.14 °

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Sind dass aber dann nicht -8.14 °?
& Wieso kann ich die Formel tan α = m1-m2/1+m1*2 nicht verwenden?

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"Der Schnittpunkt ist S (1/4)"

~plot~x^3-3x^2+4 ; -2x+4~plot~

Du meintest bestimmt "Der Schnittpunkt ist S (1/2)". Zudem gibt es mehrere Schnittpunkte der beiden Graphen. 

Bei deiner Formel fehlen z.B. die Klammern. 

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Sind dass aber dann nicht -8.14 °?

Deshalb wurde das Ergebnis auch in Betragsstriche geschrieben

 | - 71.57 - ( - 63.43 ) | = 8.14

Diese sind dir vielleicht noch nicht bekannt.

oder auch ( absolut )
abs ( - 71.57 - ( - 63.43 ) )  = 8.14

Answer 1

Hey!

Offensichtlich hat das Lösungsbuch nur alpha - beta berechnet.

Ich glaube dass deine verwendete Formel nur für Geraden gilt. kann das sein?

Comments

gamma wurde auch ausgerechnet.... das ist 8,2°

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Genau. Das Buch hat nämlich zuerst den Steigungswinkel der ersten Funktion an der Stelle 1 ausgerechnet, also

g '(1)=tan(alpha) und dann den Steigungswinkel der zweiten Funktion also Beta. Gamma ist dementsprechend: γ=α-β

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-71.5651+63,4349 ergibt aber -8,1302. In der Lösung steht, aber dass Ergebnis aufgerundet ohne das -. Wieso?

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Du musst mit Betragstrichen rechnen , also

l -71,5651-(-63,4349) l = 8,1302

Durch die Betragstriche ergibt sich kein negatives Ergebnis

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Achso, ok. Wusste ich gar nicht.^^ ( Warum ergibt sich durch die Betragsstriche denn kein negatives Ergebnis?)
Außerdem die Formel tan  α = m1-m2/1+m1*m2 gilt nur für Geraden?

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Naja wenn ein Term in Betragstrichen steht, so wird er zunächst normal berechnet und bei etwaigen negativen Ergebnissen für diesen Term, wird er mit (-1) multipliziert, damit ein positives Ergebnis erzwungen wird.
Und nein die angesprochene Formel gilt doch nicht nur für Geraden, allerdings finde ich es einfacher erst tan(m1) und tan(m2) auszurechnen und die Resultate zu subtrahieren (mit Betragstrichen)

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D.h. wenn ich die Formel verwendet hätte, hätte ich dann, wie oben genannt in meiner Rechnung 8,13009° rausbekommen?

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Das richtige Ergebnis ist γ= 8,130102354 °
Es gilt arctan(m1)-arctan(m2)=arctan((m1-m2)/(1+m1*m2)) = γMan kommt also auch mit deiner Formel auf das richte Ergebnis.

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Achso, ok. Danke Dir ! :P

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Ich habe noch eine letzte Frage. Ich habe nämlich noch eine Formel mit cos α = n1*n2 oder so gesehen.
Wofür wird die Formel verwendet?

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Du meinst cos α = (l n1*n2l )/ (l n1 l * l n2 l ) . Diese Formel wird in der analytischen Geometrie für den Schnittwinkel von Ebenen benutzt. hat mit deinem Fall hier nichts zu tun. Das gehört zum Thema Vektoren.

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Oh, ok. Danke dir nochmals für deine Antwort.