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könnte mir bitte jemand erklären, wie ich das folgende Integral löse (von 0 bis t)

x = x(t) = x_(0) + ∫ v_(0) * e^{-k t} dt

danke

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x = x(t) = x0 + ∫ v0 * e-k t dt

= x0 +  vo ∫  e-k t dt

= x0 +  vo * (-1/k) *  e-k t

Avatar von 287 k 🚀

Hallo und vielen Dank, leider weiss ich nicht, wie man auf -1/k kommt..

Du kennst sicher die Kettenregel beim Ableiten

Die Ableitung von e -kt ist deshalb  - k* e -kt

Also ist die Ableitung von ( -1/k) * e -kt

damit  ( -1/k) * -k * e -kt  =   e -kt

und deshalb  ( -1/k) * e -kt  eine Stammfunktion für e -kt .

Kannst du auch mit der Substitutionsregel der

Integration herleiten.

vielen Dank, das ist verständlich. Könntest Du mir bitte auch die Integration mithilfe der Substitution einmal mit dieser Funktion kurz erklären?

siehe Antwort Mew

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x = x(t) = x0 + ∫ v0 * e-k t dt


Per Substitution:

x = x(t) = x0 + v0∫ e-k t dt

wir substituieren

-kt = z(t)

∫ e-k t dt = ∫ ez dt

und leiten z(t) ab um ein dt zu bekommen

dz/dt = -k

umstellen

dt = dz/-k

und einsetzen

∫ ez dt = ∫ ez/-k dz

= (1/-k) * ∫ ez dz

= (1/-k) * ez

und das ist dann die Teillösung, welche du in den Anfang wieder einsetzen kannst:

x(t) = x0 + v0 * (1/-k) * ez dt

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