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Ich stehe kurz vor einer Prüfung und brauche Hilfe...
Angabe;

Berechne die Lösung der Differentialgleichung:

y''+e2x=x2-1                    y(0)=2              y'(0)=0

 

Außerdem soll ich den Extremwert rechnerisch bestimmen...
 

:)

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Statt y schreibe ich f(x) - alte Gewohnheit :-)

 

f''(x) + e^{2x} = x^2 - 1

f''(x) = x^2 - 1 - e^{2x}

Jetzt kann man die Terme einzeln aufleiten: 

f'(x) = 1/3*x^3 - x - 1/2*e^{2x}

f'(0) soll aber 0 sein und nicht -1/2. Deshalb müssen wir 1/2 dazuaddieren: 

f'(x) = 1/3*x^3 - x - 1/2*e^{2x} + 1/2

f(x) = 1/12*x^4 - 1/2*x^2 - 1/4*e^{2x} + 1/2x

Dann wäre aber f(0) nicht 2, sondern -1/4.

Deshalb müssen wir noch 9/4 hinzuaddieren und kommen auf:

f(x) = 1/12*x^4 - 1/2*x^2 + 1/2x - 1/4*e^{2x} + 9/4

 

f'(0) = 0 | stimmt

f''(0) = -2 <0 => Maximum an der Stelle x = 0

f(0) = 2

 

Das Maximum liegt also bei (0|2).

 

Es gibt auch noch ein Minimum bei etwa (-1,9|0,6) - bitte einmal selbst versuchen :-)

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