F im Ursprung nicht diff'bar aber besitzt alle Richtungsableitungen

Question

sei \(f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) gegeben durch \(f(x)=|x|=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}\)

Zeige,dass f im Ursprung nicht differenzierbar, aber dort alle einseitigen Richtungsableitungen besitzt, d.h. für jeden Vektor \(v\in \mathbb{R}^n\) mit ||v||=1 existiert der Limes

\(Dvf(0)=\lim \frac{f(tv)-f(0)}{t} \) mit l von oben gegen 0

Answer 1

Das zweite ist einfach:

(f(t*v) - f(0) ) / t

=   (  |t*v| - 0)  / t

= |t| * |v|  /   t  und wenn t von oben gegen 0 geht,

ist |t| = t also  gilt

|t| * |v|  /   t  =  |v|   =  1

also ist auch der Grenzwert für t gegen 0 gleich 1.

Comments

Wieso zeige ich so, dass alle Richtungsableitungen im Ursprung existieren?

Wie muss ich den ersten Teil der Aufgabe angehen?

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Wieso zeige ich so, dass alle Richtungsableitungen im Ursprung existieren?
weil der Grenzwert existiert.
bei a) habe ich keine Idee.