Bestimme Unterräume und Basis

Question

Kann mir jemand beim lösen dieser Aufgabe helfen? Ich verstehe sie nicht

Answer 1

die angegebenen Mengen stehen in "Kurzschreibweise":

1)

{\( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ b \end{pmatrix}\)}  = {b • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + a • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) }, also der von der Basis { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} erzeugte Unterraum von ℝ³ (lineare Hülle). Analog ist 

{\( \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix}\)} = {b • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix}\) + a • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} , also der von der Basis { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} erzeugte Unterraum von ℝ³ 

2)

U₁ ∩ U₂ = { b •  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)}  mit der Basis {  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)},

weil aus   \( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ b \end{pmatrix}\) =  \( \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix}\)  → a = 0

3)

Es gilt dim(U₁ + U₂) = dim(U₁) + dim(U₂) - dim(U₁ ∩ U₂)  = 3  →  U₁ + U₂ = ℝ³

gesuchte Basis = { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)}

(Das Spatprodukt der 3 Vektoren ist ≠ 0  → die 3 Vektoren sind linear unabhängig) 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgsang,

 Vielen Dank für deine Hilfe! Aber ich hätte dennoch ein paar fragen:

Müsste es bei 1) der Vektor für b ( 0, 0, 1) statt b ( 0, 0, b) sein?

(Ich schreib die Vektoren immer so, weil ich sie nicht wie du längst schreiben kann)

Bei 2)

Für U1 ∩ U2 schreibst du a=0, aber ist b auch nicht 0?

Weil wenn du so rechnest:

2a = a

  a = a

  b = b -> wenn du b rüberholst gibt es auch kein Wert für b oder?

Und bei 3)

Wie kommst du du auf U1 + U2 = 3?

Und was ist ein Spatprodukt?

Wenn ich Vektor 1 mit den anderen beiden multipliziere ergibt doch immer 0 oder?

Das war ja jetzt nicht wenig an Fragen, aber ich Danke dir im Voraus !!!!

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> Müsste es bei 1) der Vektor für b ( 0, 0, 1) statt b ( 0, 0, b) sein?  Ja (Tippfehler, werde es korrigieren)

>  b = b -> wenn du b rüberholst gibt es auch kein Wert für b oder?  b ist einfach beliebig

> Wie kommst du du auf  dim(U1 + U2) = 3?  

  dim(U₁ + U₂) = dim(U₁) + dim(U₂) - dim(U₁ ∩ U₂) = 2 + 2 -1 = 3

Die  Dimension dim ist die Anzahl der Basisvektoren eines Unterraums.