Wie viele Tripel natürlicher Zahlen erfüllen die Gleichung k_(1) + k_(2) + k_(3) = n?

Question

wie viele Tripel \( (k_1, k_2, k_3) \) natürlicher Zahlen gibt es, die \( k_1 + k_2 + k_3 = n \) erfüllen?

Die Antwort ist selbstverständlich, nämlich \( \sum_{k=0}^{n} (n-j+1) \). Leider weiß ich nicht wie ich es beweisen soll. An dieser Stelle muss ich sagen, dass das Thema eigentlich nur auf den Grundlagen basiert und bis jetzt nur vollständige Induktion vorgeführt wurde.

Ich kann zwar sagen, dass man ein Tripel für \( n \) mit \( n + 0 + 0 \) braucht. Dann braucht man zwei Tripel in der Form \( (n-1) + x +y \), drei Tripel mit \( (n-2) + x +y \) etc. so, dass man am Ende auf \( \sum_{k=0}^{n} (n-j+1) \) kommt. Es ist für mich aber kein "echter Beweis".

Comments

Im Term hinter dem Summenzeichen kommt kein k vor.  Und was ist j? Die Antwort ist selbstverständlich nicht die genannte.

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Beginne mal mit der Verankerung und zähle die ersten paar Beispiele explizit aus.

Also: n=1, n=2, n=3 ...

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Gast jb4155, mit \( k \) meine ich natürlich \( j \).

Lu, das habe ich schon gemacht.

\( n = 0: 1 \)

\( n = 1: 3 \)

\( n = 2: 5 \)

\( n = 3: 10 \) etc.

Für z.B. \( n = 2 \) hätten wir:

\(2 = 2 + 0 + 0 \)

\(2 = 1 + 1 + 0 \)

\(2 = 1 + 0 + 1 \)

\(2 = 0 + 2 + 0 \)

\( 2 = 0 + 0 + 2 \)

\( 2 = 0 + 1 + 1 \)

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Mathef, danke für Deine Antwort. Ich frage mich nur wie man die Formel (n+1)(n+2) / 2 am schönsten begründen kann. Für mich ist also a+b, wobei a = n^2 / 2 (die Hälfte des "n x (n+1)"-Rechtecks) plus die letzte Spalte b = n +1, insgesamt also n^2 / 2 + n+1 und durch Umformen kommt man auf Deine Formel. Aber die Argumentation ist zwar sehr anschaulich, jedoch weiß ich nicht, ob es ein schöner Beweis ist.

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Dein Kommentar ist wohl gerade am falschen Ort gelandet.

Stell dir die gefundenen Summen als Punkte im 3D-Koordinatensystem vor.

Die liegen alle im 1. Oktanten (oder in den Koordintatenebenen). Sie bilden ein Dreieck.

In der Grundrissebene liegen n+1 Punkte. "Höhe" des Dreiecks ist ungefähr gleich. Also erste Schätzung

(n+1)* (n+1) / 2.

Nun noch justieren mit der Verankerung zu vielleicht P(n) = (n+1) ( n+2)/2 ?

Für den Induktionsbeweis kannst du vernachlässigen, dass sich die Ebene mit den Punkten parallel verschiebt. Nutze einfach, dass immer eine Basis an das bestehende Dreieck gefügt wird.

Induktionsschritt: n -> (n+1)

P(n) + (n+2) = P(n+1)

Das wäre dann zu zeigen für den Induktionsschritt.

Answer 1

wenn k1 +k2+k3=n gilt, dann ist k3=n-k1-k2

Damit das mit nat. Zahlen klappt muss k1+k2 ≤ n  gelten

Das geht nur mit den Paaren    (k1;k2) =

                                       (0;n) ; 0;n-1)    (0;n-2)  ; ....... (0;0)
                                                  (1;n-1) ; (1;n-2) ;  ......   (1;0)
                                                                  (2;n-2); .....      (2;0)

                                                                   ................................
                                                                                           ( n;0 )

Die dritte Komponente ist dann durch n-k1-k2 immer eindeutig  bestimmt.

Von diesen Paaren gibt es  (Korrektur ! )      (n+1)(n+2) / 2  Stück ,

also gibt es auch so viele von den gesuchten Tripeln.

Das kannst du auch mit vollst. Ind. beweisen.