orthogonales Komplement. unterräume

Question

U1 ist eine Teilmenge von U2, Äqivialenz, U2(orthogonal) ist eine Teilmenge von U1(orthogonal)

Wie kann man die äqivialenz beweisen ??

Answer 1

U1⊂U2  und sei x ∈ U2^⊥
⇒  Für alle y aus U2 gilt x*y = 0
     Ist nun z  ∈ U1, dann ist wegen U1⊂U2 auch
         z  ∈ U2 und somit gilt auch x*z=0
   Also gilt für alle z  ∈ U1  *z=0 und
damit ist  x ∈ U1^⊥.
Also ist gezeigt   U1⊂U2  ⇒ U2^⊥ ⊂ U1^⊥.

Umgekehrt entsprechend.