Wie bestimmt man das Betragsmaximum einer komplexen Funktion?

Question

Hallo :)

Und zwar soll ich das Betragsmaximum auf $$\overline { { B }_{ 1 }(0) }$$ folgender Funktionen bestimmen:

(1) $${ e }^{ { z }^{ 2 }+1 }$$

(2) $$\frac { { z }^{ 2 }+1 }{ z+4 }$$

Nun habe ich versucht erstmal die komplexe Zahl z als z=x+iy zu schreiben und dann mit dem Betrag erstmal ein paar Umformungen zu machen:

$$\left| f(z) \right| =\left| f(x+iy) \right| =\left| { e }^{ { (x+iy) }^{ 2 }+1 } \right| =\left| { e }^{ { x }^{ 2 }+2ixy-{ y }^{ 2 }+1 } \right| =\left| { e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \right| \cdot \left| { e }^{ 2ixy } \right| \cdot \left| { e }^{ 1 } \right|$$

Nun weiß ich aber leider nicht mehr weiter. Wenn ich mich nicht irre, dann ist B₁(0) quer doch der Einheitskreis um die Null. Und diesen kann man ja mit der Formel e^iφ=cos(φ)+i·sin(φ) beschreiben. Kann man die Funktion dann irgendwie in |f(z)| einsetzen? Und wie kann ich dann das Maximum bestimmen? Ergibt sich das automatisch, weil ich dann durch B₁(0) quer nur den Rand betrachte? In der Vorlesung hatten wir noch den Begriff des "Maxmumsprinzips". Mir ist dabei aber leider nicht ganz klar, wie dieser anzuwenden ist.

Hat jemand vielleicht eine Idee? :)

Comments

Mal angenommen, dass du richtig gerechnet hast, kannst du | e^2ixy | durch 1 ersetzen. Das ist ja ein Zeiger auf eine Zahl auf dem Einheitskreis.

Beim Rest kannst du die Betragstriche weglassen.

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Dann habe ich ja die Funktion $${ g(x,y):=e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }$$

Ich befinde mich ja auf dem Rand des Einheitskreises. Kann ich dann nicht das Maximum mit der Nebenbedingung x²+y²=1 bestimmen?. Das wäre doch dann mit den Lagrange Multiplikatoren möglich, dies zu bestimmen oder? :)

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Nicht ganz. Nur der Imaginärteil eines Exponenten führt dich auf den Einheitskreis.

Seien a und b reell, so gilt

e^{a + ib} = e^a * e^ib = e^a * (cos(b) + isin(b))

e^a ist reell und entspricht exakt dem Betrag von e^{a + ib}

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Sorry, ich stehe leider etwas auf dem Schlauch :)
Sagen wir mal ich betrachte die Umformung $$\left| f(z) \right| =\left| f(x+iy) \right| =\left| { e }^{ { (x+iy) }^{ 2 }+1 } \right| =\left| { e }^{ { x }^{ 2 }+2ixy-{ y }^{ 2 }+1 } \right| =\left| { e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \right| \cdot \left| { e }^{ 2ixy } \right| \cdot e=\left| { e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \right| \cdot 1\cdot e={ e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }\cdot e$$

Dann ist am Ende ja kein Imaginärteil vorhanden. Wir betrachten aber das Maximum auf dem Einheitskreis. Würde das dann bedeuten, dass gar kein Betragsmaximum vorhanden ist, weil $${ e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }$$ keinen Imaginärteil besitzt, weil x und y sind ja reell?

Oder ist e^a * (cos(b) + isin(b)) hierbei auf den Einheitskreis bezogen?

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Wir betrachten aber das Maximum auf dem Einheitskreis. 

Das heisst die Definitionsmenge ist der Einheitskreis und du hast die Nebenbedingung x² + y² = 1, die du irgendwo in deinen Rechnungen noch nutzen kannst.

Ab hier geht es um den Wertebereich und dessen maximalen Betrag. Nutze die Nebenbedingung und führe dann eine Ableitung durch, um das Betragsmaximum rauszubekommen.

Würde das dann bedeuten, dass gar kein Betragsmaximum vorhanden ist, weil $${ e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }$$ keinen Imaginärteil besitzt, weil x und y sind ja reell?  Dieser Satz ist verkehrt. Nein.

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Okay, dann noch ein Versuch :)

Wir haben also $${ g(x,y)=e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }$$

Schreiben wir nun unsere Nebenbedingung auch als Funktion mit φ(x,y)=x²+y²-1=0

Dann können wir dazu die Lagrange-Funktion aufstellen mit L(x,y,λ)=g(x,y)+λ·φ(x,y):

$$L(x,y,\lambda )={ e }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }+\lambda \cdot ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)$$

Diese kann man dann nach allen Komponenten ableiten:

$${ L }_{ x }(x,y,\lambda )={ 2xe }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }+\lambda \cdot (2x)$$

$${ L }_{ y }(x,y,\lambda )={ -2ye }^{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+1 }+\lambda \cdot (2y)$$

$${ L }_{ \lambda }(x,y,\lambda )={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1$$

Dann setze ich alle gleich Null und bestimme x,y und λ in dem entstandenen Gleichungssystem:

$${ L }_{ x }(x,y,\lambda )=0$$

$${ L }_{ y }(x,y,\lambda )=0$$

$${ L }_{ \lambda }(x,y,\lambda )=0$$

Wenn ich das dann bestimme komme ich auf folgende Lösungen:

(I) x=-1, y=0 und λ=-e²

(II) x=0, y=-1 und λ=1

(III) x=0, y=1 und λ=1

(IV) x=1, y=0 und λ=-e²

Wenn ich nun den Betrag der größten Zahl nehme, dann habe ich das Betragsmaximum bestimmt mit:

$$\Rightarrow \max { \left| f(z) \right| =\left| -{ e }^{ 2 } \right| } ={ e }^{ 2 }$$

Kann man das so machen oder ist das der komplett falsche weg mit den Ableitungen? :)

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Ich denke, das ist viel zu kompliziert. Aber, wenn du Lagrange üben sollst, könnte das ja so gemeint sein. Lassen wir die Frage mal noch offen.

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Okay :D

Wie ich das lösen soll, weiß ich leider selbst nicht so recht. Die Aufgabe selbst wurde jetzt in Funktionentheorie gestellt. Mir war halt nur das Lagrange-Verfahren noch aus vergangenen Semestern bekannt. Deswegen habe ich das mal angewendet.

Wäre denn dann e² als Betragsmaximum richtig? :)

Vielen Dank für Deine Hilfe! :D