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Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:
Bild Mathematik
Lösungen:
Bild Mathematik
Skizzen:
Bild Mathematik Bild Mathematik Bild Mathematik
Sind meine Ergebnisse richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Gefragt von
c.)
f ( x,y ) = x^2 - y + 2
Hier dürfte eine partielle Ableitung zum Ziel führen
f ´ x = 2 * x
f ´ y =  -1

Bei x = 0 ist in Ost-West-Richtung die Steigung 0.
Der Ball rollt weder nach Ost noch nach West

für x =  0
y = 1  h = 1
y = 0  h = 2
y = -1  h = 3
Der Ball rollt von Hoch nach Tief also von y = -1 nach y = 1
also nach Norden

Ich warte einmal ab was du meinst.

mfg Georg

Hallo Georg,

ich bin mir nicht sicher. Aber ich denke, dass  k(x,y) falsch ist. Unten ist die Korrektur:

f(x,y) = x2-y+2

c=0:
y-x=0 |umformen nach y →y=x

c=1:
y-x=1 → y=x+1

c=-1:
y-x=-1 → y=x-1

k(x,y) = 2x·e
-y

c=0:
2x=0 oder e-y=0 →y-Achse

c=1:
1=2x*e-y        |*ey
ey=2x            |ln
y=ln(2x)=ln(2)+ln(x)=0.7+ln(x)

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach oben verschoben.

c=-1:
-1=2x*e-y        |*ey
ey=-2x            |ln
y=ln(-2x)=ln(-2)+ln(x)=-0.7+ln(x)

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach unten verschoben.

Korrektur: 
f(x,y)=x2-y+2 (siehe oben unter Lösungen)

g(x,y)=x-y 

c=0: 
y-x=0 |umformen nach y →y=x 

c=1: 
y-x=1 → y=x+1 

c=-1: 
y-x=-1 → y=x-1 

k(x,y)=2x·e
-y
 

c=0: 
2x=0 oder e-y=0 →y-Achse

c=1: 
1=2x*e-y        |*e
ey=2x            |ln 
y=ln(2x)=ln(2)+ln(x)=0.7+ln(x) 

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach oben verschoben.

c=-1: 
-1=2x*e-y        |*e
ey=-2x            |ln 
y=ln(-2x)=ln(-2)+ln(x)=-0.7+ln(x) 

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach unten verschoben.

@Georg

Man steht auf jeden Fall am Koordinatenursprung (0|0). Die drei Funktionen zeigen den Verlauf der Höhe an. Legt man den Ball bei der roten Kurve von f hin, dann rollt der Ball treppenartig zur gelben und blauen Kurve Richtung Norden. Also hättest du Recht. Wenn man das 3-dimensional veranschaulichen könnte, dann wäre es bestimmt noch einfacher zu erkennen.

Skizze von k(x,y):
Bild Mathematik

Skizze von g(x,y):
Bild Mathematik  

Wie rollt der Ball?

f(x,y)=x2-y+2 NORDEN

g(x,y)=x-y  NORDWESTEN

k(x,y)=2x·e-y  ?

f(x,y)=x2-y+2 NORDEN 

g(x,y)=x-y  NORDWESTEN 

k(x,y)=2x·e-y  SÜDOSTEN

SKIZZEN:
Bild Mathematik Bild Mathematik Bild Mathematik

Die Aufgaben sind reichlich kompliziert.
Eine 3d-Plotter habe ich.
Es geht aber erst morgrn weiter.
Gute Nacht.

Hier der Graph

Bild Mathematik

Ich denke aber zur Aufgabenstellung standen noch kein 3-D-plotter
zur Verfügung.
Ich werde mich mit der Aufgabe noch weiter beschäftigen.

Für die Aufgabe c.) wird die Vorgehensweise praktikabel sein

Partielle Ableitung in x und  y Richtung bilden.

In x - Richting an einer Stelle x0

Ist die Ableitung positiv / steigendes Gelände  läuft der Ball nach Westen ( links )
Ist die Ableitung negativ / fallendes Gelände   läuft der Ball nach Osten ( rechts )

in y Richtung an der Stelle y0

Ist die Ableitung positiv / steigendes Gelände  läuft der Ball nach Süden
Ist die Ableitung negativ / fallendes Gelände   läuft der Ball nach Norden.

x0 = 0
y0 = 0
a.)
f ´ x   = 2*x
f ´ x ( 0 ) = 0  Keine Rollbewegung
f ´ y = -1
f ´y ( 0 ) =  -1  Laufrichtung  Norden
insgesamt : nach Norden

b,)

g ( x,y ) = y - x
g ´x =  -1 nach Osten
g ´ y = 1 nach Süden
Insgesamt nach Südost

c.)
k ( x,y ) = 2 * x * e^(-y)
k ´x =  2 * e^(-y) 
y0 = 0
k´ ( 0 ) = 2  nach Westen

k ´y = -2 * x * e^(-y) 
x0 = 0
k ´ y = 0  keine Rollbewegung
insgesamt nach Westen

zu a.)
Der Funktionswert läßt sich leicht berechnen.

Hier die Höhenlinien a.) für f

Bild Mathematik

Mich verwirrt der Graph eher.

Bei Bedarf kann für g und k die Höhenlinie auch eingestellt werden.

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Bei den Bildern kann das kostenlose Microsoft Mathematics (64 Bit) helfen:

Bild Mathematik

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Hallo georgborn und hyperG,

vielen Dank für Eure Unterstützung! Um solche Aufgaben lösen zu können, ist es wichtig die partielle Ableitung an der Stelle x0 sowie y0 zu bilden. Je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist wird eine Richtung vorgegeben. Bei f'(x0)=0 bzw. f'(y0)=0 findet keine Rollbewegung statt. Wenn beide Parameter gleich 0 wären, dann würde der Ball am Koordinatenursprung (0|0) bleiben. Man könnte in diesem Fall keine Himmelsrichtung festlegen oder 360° alle Himmelsrichtungen wie bspw. am geographischen Südpol. Das Microsoft Programm werde ich mir mal ansehen, da ich bis jetzt nur den Funktionsplotter (Windows Store) genutzt habe. Einerseits ist es schön, wenn man eine 3D-Visualisierung hat, aber andererseits muss man sich erstmal daran gewöhnen und einarbeiten. Man lernt nie aus ;-)

Beste Grüße,

Asterix

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