n-te Ableitung der Funktion f(x) = ln(1 + x) per vollständiger Induktion

Question

Hi, kann mir jemand sagen, wie man die n-te Ableitung der Funktion

f(x) = ln(1 + x) per vollständiger Induktion für alle n ∈ ℕ₀ berechnet?

Grüße

Answer 1

Erste Ableitungen und Aufstellen der Vermutung

f(x) = LN(x + 1)

f'(x) = 1/(x + 1)

f''(x) = - 1/(x + 1)²

f'''(x) = 2/(x + 1)³

Vermutung

fn(x) = (-1)^{n - 1}·(n - 1)! / (x + 1)ⁿ

Iduktionsanfang n = 1

f'(x) = (-1)^{1 - 1}·(1 - 1)! / (x + 1)¹ = 1/(x + 1)

stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

fn(x) = (-1)^{n - 1}·(n - 1)! · (x + 1)^{- n}

[fn(x)]' = (-1)^{n - 1}·(n - 1)! · (- n)·(x + 1)^{- n - 1}

[fn(x)]' = (-1)ⁿ·(n - 1)! · (n)·(x + 1)^{- n - 1}

[fn(x)]' = (-1)ⁿ·n! / (x + 1)^{n + 1}

[fn(x)]' = fn+1(x)

stimmt