Einseitige Grenzwert Berechnung

Question

Ich habe folgendes Problem:

Zwar weis  ich was der Unterschied zwischen rechts und links Seitigen Limes ist, aber ich kann mir im Moment noch nicht ganz vorstellen wie ich diesen dann tatsächlich berechne. Ich weiss, dass ich mich den Grenzwert von einer bestimmten Seite annähere aber wie genau mach ich das dann? Kann mir jemand vielleicht ein konkretes Beispiel mit Zahlen vorrechnen?

Comments

Hast du eine stückweise definierte Funktion?

Wenn die Funktion auf der interessierenden Seite stetig ist und du weisst, dass der Grenzwert endlich ist, kannst du einfach den Grenzwert für x gegen die fragliche Funktion ausrechnen.

Answer 1

Heute schrieb ich schon einmal zum Beitrag über senkrechte
Asymptoten

f ( x ) = 1 / ( x - 1 )

für x = 1 ( Nenner wird 0 ) nicht definiert

nähert sich x von rechts dieser Stelle ergibt sich
x = 1.1  => 1 / ( 1.1 - 1 ) = 1 / 0.1 = 10
x = 1.01  => 100
x = 1.001 => 1000
x ist einen kleinen Tick größer 1
lim x −> 1 (+)  1 /  0(+) = + ∞

nähert sich x von links dieser Stelle ergibt sich
x = 0.9  => 1 / ( 0.9 - 1 ) = 1 / -0.1 = -10
x = 0.99  => -100
x = 0.999 => -1000
x ist einen kleinen Tick kleiner 1
lim x −> 1 (-)  1 /  0(-) = - ∞

Auf der linken Seite geht die Funktion für x = 1 gegen -∞
Auf der rechten Seite geht die Funktion für x = 1 gegen +∞

~plot~ 1/( x-1)  ; x = 1 ~plot~

Comments

Danke das hilft mir schon mal weiter. Das heißt also ich muss im Endeffekt nur auf das Vorzeichen achten. Wie wäre es bei der Funktion 1/x? Da spielt es doch keine Rolle von welcher Seite ich mich annähere aber trotzdem ist die Funktion offensichtlich nicht stetig wenn ich sie plote.

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Da spielt es doch keine Rolle von welcher Seite ich mich annähere

Pech für Ti-30xPro.

f ( x ) = 1 / x

Für x = 0 ist die Funktion nicht definiert da Division durch 0.

Kurzschreibweise
lim x −> 0 (-) [ 1 / x ]  = 1 / 0(-) = - ∞
Annäherung von x von links an die Stelle 0 der Funktion 1/x bedeutet
1 durch eine negative 0 gleich minus unendlich.

lim x −> 0 (+) [ 1 / x ]  = 1 / 0(+) = + ∞
Annäherung von x von rechts an die Stelle 0 der Funktion 1/x bedeutet
1 durch eine positive 0 gleich plus unendlich.

<−−−−−−−−−−|−−−−−−−−−−−>
            0(-)    0      0(+)

Bei Grenzwertbetrachtung immer 2 Fälle untersuchen
Annäherung von links ( minus )
und
Annäherung von rechts ( plus )

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Ok das hatte ich mir fast schon gedacht. Ich glaube ich habs jetzt endlich verstanden. Danke für die Hilfe.

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Schön zu hören.
Falls du andere / weitere Fragen hast dann wieder einstellen.
Auch zur Übung : Grenzwertaufgaben aus Büchern.