Ganzrationale Funktion 4. Grades mit 3 Punkten bestimmen

Question

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur Y-Achse verläuft, die Y-Achse an der Stelle y = -2 schneidet und durch den Punkt P (1;2) verläuft. Eine Nullstelle der Funktion ist x = 2.

Ich weiß, dass:

f(x) = ax^4 +bx^2+c

f(0) = -2

f(2) = 0

f(1)=2

ist, aber in meinem LGS kommt nur shidde raus.

Answer 1

Warum kommt da nur shidde raus?

Wir erhalten

c= -2

16a+4b -2= 0

a+b -2= 2

also:

16a+4b= 2

a+b=4

Das solltest du lösen können :)

a= -7/6

b= 31/6

c= -2

Die Funktion lautet:

f(x)= -7/6*x⁴ +31/6*x² -2

~plot~ -7/6*x^4 +31/6*x^2 -2 ~plot~

Answer 2

f(x) = ax⁴ +bx²+c

f(0) = -2       ===> c = -2.

f(2) = 0     ===> 0 = 16a + 4b -2

f(1)=2   ===> 2 = a + b - 2

So weit dasselbe? 

 2 = 16a + 4b        (I) '

4 -a  = b        (II)'

----------
(II)' in (I)'
2 = 16a + 4(4 - a) = 16a + 16 - 4a
-14 = 12 a 
- 7/6 = a. 
b = 4 - ( - 7/6)  = 24/6 + 7/6 = 31/6
Na. Ja. Kontrolliere das und suche Fehler...

Answer 3

f(x) = ax⁴ +bx²+c

f(0) = -2   →  c = -2

f(2) = 0    →  16a + 4b - 2 = 0   →  8a + 2b = 1 

f(1) = 2      →    a + b - 2 = 2     →  b = -a + 4

b einsetzen → 8a + 2 • ( -a + 4)  =  8a - 2a + 8 = 1  →  6a = -7

 →  a = -7/6  → b = 31/6

f(x) = -7/6 x⁴ + 31/6 x² - 2

Gruß Wolfgang

Answer 4

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, die y-Achse an der Stelle y = -2 schneidet und durch den Punkt P (1|2) verläuft. Eine Nullstelle der Funktion ist x = 2

Eine Nullstelle der Funktion ist x = 2.  Somit ist auch bei x=-2 eine Nullstelle

Linearfaktorenform

\( f(x)=a(x-2)(x+2) (x-N)(x+N) =a( x^2-4)(x^2-N^2)=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)  \)

...die y-Achse an der Stelle y = -2 schneidet

\( f(0)=4aN^2=-2  \)

\(a=-\frac{1}{2N^2}  \)

\( f(x)=-\frac{1}{2N^2} (x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)  \)

P (1|2)

\( f(1)=-\frac{1}{2N^2} (3N^2-3 )=2 \)

\( N^2=\frac{3}{7}\)

\(a=-\frac{7}{6}  \)

\( f(x)=-\frac{7}{6} (x^4-\frac{3}{7}x^2-4x^2+\frac{12}{7})  \)

\( f(x)=-\frac{7}{6} x^4+\frac{31}{6}x^2-2  \)