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Aufgabe:

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch S(0|4) verläuft und in W(2|5) einen Wendepunkt hat. Die Wendetangente hat die Steigung -1,5.


Problem/Ansatz:

… f(0) = 4
f(2) = 5
f''(2) = 0
f'(2) = - 1.5

Bekomme als Funktion -0.5x^3+3x^2-1.5x+4, das kann aber nicht richtig sein, da der Wendepunkt bei dieser Funktion nicht bei (2|5) liegt.

von

In der Aufgabe steht:

deren Graph durch S(0|4) verläuft

Dein Ansatz lautet:

f(0) = 0

Finde den Fehler.

:D schon korrigiert aber trotzdem bekomme ich das raus, hab das mit f(0) = 4 auch gerechnet

Ok hab meinen Fehler gefunden, habe das d=4 bei f(2) = 5 weggelassen und dadurch hatte ich -1,5c statt -3,5c

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Beste Antwort

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch S(0|4) verläuft und in W(2|5) einen Wendepunkt hat. Die Wendetangente hat die Steigung -1,5.

\(f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d\)

\(S(0|4)\):

\(f(0)=d\)

1.) \(d=4\)

\(W(2|5)\):

\(f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+4\)

\(f(2)=8a+4b+2c+4\)

\(8a+4b+2c+4=5\)

2.) \(8a+4b+2c=1\)

\(f´(x)=3a*x^2+2b*x+c\)

\(f´´(x)=6a*x+2b\)

\(f´´(2)=12a+2b\)

\(12a+2b=0\)

3.) \(b=-6a\)

Wendetangente \(m=-1,5\)

\(f´(2)=12a+4b+c\)

4.) \(12a+4b+c=-1,5\)     4.) \(12a+4*(-6a)+c=-1,5\)    4.) \(c=-1,5+12a\)

2.) \(8a+4b+2c=1\)    2.) \(8a+4*(-6a)+2*(-1,5+12a)=1\)

 2.) \(a=0,5\)     \(b=-3\)    \(c=4,5)\)

\(f(x)=0,5*x^3-3*x^2+4,5x+4\)

Unbenannt.PNG

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Eine kubisches Polynom ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt. Ist dieser mit \(W=(x_w,\,y_w)\) gegeben, so kann man schreiben$$f(x) = a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$Und das \(c\) ist die Steigung im Wendepunkt \(c=f'(x_w)\). Also hier$$f(x)= a(x-2)^3 -1,5(x-2) + 5$$aus \(f(0)=4\) folgt dann das \(a\)$$a(-2)^3 - 1,5 \cdot(-2) + 5 = 4 \implies a = \frac12$$das ist deutlich weniger Rechnerei als der 'klassische' Weg. Siehe auch diese Steckbrieffrage.

Danke dir für diese Formel. Ich kannte sie noch nicht. Hier noch eine Lösungsmöglichkeit bei Steckbriefaufgaben:

https://www.mathelounge.de/958324/bestimmen-ganzrationale-funktion-angegebenen-eigenschaften

Danke dir für diese Formel.

Na ja - ich sehe das nicht als "Formel". Das ist logisch, wenn man überlegt, was 'Punktsymmetrie' bezogen auf einen Punkt \(P\) bedeutet.$$f(p_x + \Delta x) - p_y = p_y - f(p_x - \Delta x) \quad \forall \Delta x$$setze da mal obige "Formel" ein. Das ist immer erfüllt. Es sind die ungeraden Exponenten!

Wenn man es sich aufzeichnet, wird es auch klarer ...

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Löse das Gleichungssystem

a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 4                            "deren Graph durch S(0|4) verläuft"

a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = 5                            "und in W(2|5)"

6a*2 + 2b = 0                                               "einen Wendepunkt hat"

3a*2^2 + 2b*2 + c = -1.5                               "Wendetangente hat die Steigung -1,5"


blob.png

von 31 k
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… f(0) = 4   ==>   d=4
f(2) = 5   ==>   8a +4b+2c = 1
f''(2) = 0  ==>   12a + 2b = 0    b=-6a
f'(2) = - 1.5 ==>  12a + 4b + c = -1,5

==>     8a -24a + 2c =1  und  12a -24a + c = 1,5

==>        -16a + 2c = 1   und -12a + c = 1,5

                                                    c = 1,5 + 12a

==>       -16a + 3 + 24a = 1

                8a = -2

                   a=-1/4             c= -1,5         b= 1,5     d=4

von 258 k 🚀

Schau mal Deine Funktion an:

blob.png

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Deine Bedingungen sind ja alle richtig. Benutze dann zur Hilfe und Selbstkontrolle http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Gleichungssystem

d = 4
8·a + 4·b + 2·c + d = 5
12·a + 2·b = 0
12·a + 4·b + c = -1.5

Errechnete Funktion

f(x) = 0,5·x^3 - 3·x^2 + 4,5·x + 4

Vergleiche also mal dein Gleichungssystem und rechne es nochmal nach

von 430 k 🚀

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