Gesucht sei das Polynom P, das die Interpolationsaufgabe P(0)=1.. löst

Question

Aufgabe:

Gesucht sei das Polynom P, das die Interpolationsaufgabe $P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1$ löst. Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem bezüglich der Basis $p_{1}(x)=2 x^{2}-2$ $p_{2}(x)=x+1 \quad p_{3}(x)=1$
auf (Lösung des Gleichungssystems ist nicht erforderlich).

Lösen Sie die Interpolationsaufgabe aus obiger Aufgabe mit Hilfe der Newton-Interpolation mit Hilfe von Lagrange-Polynomen

Ansatz:

Ich weiß wie man Punkte mit der Newton-Interpolation und den Lagrange-Polynomen berechnet.

Ich bin mir nicht sicher, ob P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1 die x und y Werte sind oder ob die Bezeichnung P(1),P(2) und P(3) einfach nur eine Nummerierung ist und der x Wert nicht vorhanden ist?

Answer 1

P(0) = 1 ist denke ich schon die x und y Koordinate. Das Polynom soll durch die 3 Punkte gehen.

Mein Ansatz wäre dann:

P(x) = a * p1(x) + b * p2(x) + c * p3(x)

P(x) = a * (2x^2 - 2) + b * (x + 1) + c * (1)

P(0) = -2a + b + c = 1
P(1) = 2·b + c = 2
P(2) = 6a + 3b + c = 1

Eine Lösung wäre hier a = - 1/2 ∧ b = 2 ∧ c = -2

Comments

Lieber Dank! Dann wäre das Polynom P  p(x)= -1/2x2+2x-2, oder?  Die Lösung der mit der Newton-Interpolation und der Lagrange-Polynomen müssten dann das gleichn Polynom geben. Ich teste mal die Newton Interpolation.

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Es müsste wie folgt lauten.

P(x) = -x^2 + 2x + 1

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Ist das die Lösung der Newton Interpolation:

P(0,1) P (1,2) P(2,1)

c0= y0= 1

c1= y1-c0/x1-x0= 2-1/1-0=1

c2= y2-c0-c1(x2-x0)/(x2-x0) (x2-x1)=1-1-1 (2-0)/(2-0)(2-1)=-1

p(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)
p(x)= 1+1(x-0)-1 (x-0) (x-1)
p(x)= 2x-x²-x
p(x)=-x²+x

Ich finde die Lösung sieht sehr eigenartig aus, das Gleichungssystem ergibt für das Polynom
p(x)= -1/2x²+2x-2eine andere Lösung.
Was mache ich falsch?

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ah, du hast a, b und c in P(x) = a * ( 2x² - 2) + b * (x + 1) + c * (1) eingesetzt..ok ;)

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Bis zur Zeile 

p(x) = 1 + 1·(x - 0) - 1·(x - 0)·(x - 1) war noch alles im Butter
p(x) = 1 + x - 1·(x² - x)
p(x) = 1 + x - x² + x
p(x) = -x² + 2x + 1

Das ist exakt das was heraus kommen sollte.

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Tausend Dank! Kann ich Dir irgendwo in diesem Forum noch eine gute Bewertung geben? Deine Antworten sind sehr hilfreich und verständlich. Habe mich verrechnet, jetzt kommt die Rechnung mit Lagrange-Polynomen. Poste wieder die Lösung, pass jetzt aber genau auf ;)

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Bin angemeldet ;)

Lösung mit Lagrange-Polynomen

L0(×)= (×-1) * (×-2) / (0-1) * (0-2)= ײ-2×-×+2 / 2= ײ-3×+2 / 2

L1(×)= (×-0) * (×-2) / (1-0) * (1-2)= ײ-2×/-1

L2(×)= (×-0) * (×-1) / (2-0) * (2-1)= ײ-×/2

P(x)=1*L0(×)+2*L1(×)+1*L2(×)

1,2 und 1 sind die y-Werte

P(x)= 1*(ײ-3×+2/ 2) + 2(ײ-2x/-1) + 1(×^2-×/2)

P(×)=-ײ- 2×+1

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Nur in der letzten Zeile noch ein Schreibfehler
P(x) = -x^2 + 2x + 1

Muss ja schließlich das gleiche wie bei den anderen rauskommen.