basis und funktionswerte des vektorraumhomomorphismus sind gegeben, wie bestimme ich den "gesamten" homomorphismus?

Question

Es ist die Basis ((2,2)^T,(2,-3)^T) in R^2x1 gegeben. Zudem ist f ein VR-Homomorphismus mit f(2,2)^T=(3,0,-3)^T und f(2,-3)^T=(-2,4,3)^T. Da die Funktionswerte der Basis gegeben sind, weiß ich, dass sich genau ein Vektorraumhomomorphismus konstruieren lässt, doch leider weiß ich nicht wie....

Answer 1

die Abbildungsvorschrift des  VR-Homorphismus kannst durch eine Matrix A angeben:

x ∈ ℝ² ↦ y ∈ ℝ³ mit  y = A • x

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⎡ a  b ⎤

⎢ c  d ⎥      =  A

⎣ e  f ⎦

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⎡ 2   2 ⎤   = B₁

⎣ 2  -3 ⎦

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⎡  3  -2 ⎤

⎢  0   4 ⎥  = B₂

⎣ -3   3 ⎦

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Zur Bestimmung von A löst du die Gleichung   A • B₁ = B₂

Das ergibt ein LGS mit 6 Unbekannten mit der eindeutigen Lösung

a = 1/2  ∧  b = 1  ∧  c = 4/5  ∧  d = - 4/5  ∧  e = - 3/10  ∧  f = - 6/5

Gruß Wolfgang