Bestimmen der letzten beiden Dezimalziffern von 21001

Question

Bestimme die letzten beiden Dezimalziffern von 2¹⁰⁰¹.

Wie geht das?

Comments

Zweierpotenzen

2     = 2¹

4

8

16

32      = 2⁵

64

128

256

512 = 2⁹

1024

2048

4096

8192

usw.

Rechne weiter und

schau mal, ob du Regelmässigkeiten erkennen kannst.

Da 1001 = 4*250 + 1, nehme ich an, dass die letzte Ziffer der gesuchten Zahl eine 2 ist.

überprüfe das und konzentriere dich nun auf die letzten 2 Ziffern, auch da sollte irgendwann eine Periode erkennbar sein.

Kontrolle:

Gemäss Wolframalphas exakter Rechnung sind die letzten beiden Ziffern 5 und 2 also 52. https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E1001

Answer 1

2¹⁰ = 1024  

wenn du damit weitermachst

1024*1024 = ....... 76

Das mal 1024 gibt sowas wie ......24

Also bei 1024³ wieder 24 am Ende.

und damit bei allen ungeraden Potenzen von

1024 ist dann die 24 am Ende, also auch bei

1024⁹⁹ . Und damit bei

1024¹⁰⁰ am Ende 76.

1024¹⁰⁰ = (2¹⁰ ) ¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰⁰   also hat

2¹⁰⁰¹ am Ende  76 * 2 = 152 also sind die letzten

beiden 52.

Answer 2

Zweierpotenzen

02     = 2¹

04    = 2²

08     = 3²

16

32      = 2⁵

64

128

256

512 = 2⁹

1024

2048

4096

8192 = 2¹³

usw.

Wir berücksichtigen nur noch die Verdoppelungen der letzten 2 Ziffern

...184

...168

...136

...72 = 2¹⁷

..144

...88

...176

...152 = 2²¹

..104 = 2²²

2² * 2²⁰ = 2²²

Periodenlänge ist somit 20, wenn der Exponent 2 oder mehr ist.

1001 = 20*50+1 = 20*49 + 21

2¹⁰⁰¹ = 2^20*49 * 2²¹

==> letzte 2 Ziffern wie bei 2²¹ also 52.

Geht vermutlich auch einfacher, wenn du schon etwas Theorie gelernt hast.

Answer 3

Diese Zahlen sind ja so klein, da kann man locker online alle Stellen berechnen lassen...

Interessant wird es, wenn WolframAlpha was nicht mehr kann:

Dafür gibt es den Pow-Mod Algorithmus: Iterationsrechner Beispiel 122 anpassen (2 hoch 1001) mod 100

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Für die, die JavaScript nicht so gut verstehen (% = Modulo = mod = Divisionsrest):

if((b%2)==1)...   wenn (Divisionsrest von b/2)=1 -> also wenn b ungerade...

aC[d+1]=(aC[d]*aB[i])%c ...  dann wird der Nachfolger aC[d+1] zum Divisionsrest (des Produktes durch c)

aB[i+1]=pow(aB[i],2)%c;  ... Nachfolger Spalte aB = (Vorgänger aB hoch 2) Modulo c

b=floor(b/2) ...  halbiere Variable b und schneide Nachkommastellen ab

Für richtig große Zahlen, die zig mal größer sind als (alle Atome Weltall) hoch (alle Atome Weltall)

gibt es PowPowMod unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

hier mit kleinen Zahlen: 2 hoch 1001 hoch 1 Modulo 100:

Answer 4

Ich würde das einfach mal probieren durchzurechnen. Wie man schnell merkt braucht man gar nicht so viele Quadratzahlen wie man eventuell denkt.

Beachte: Alles wird hier MOD 100 gerechnet

2¹⁰⁰¹

= 2 * 2¹⁰⁰⁰

= 2 * 4⁵⁰⁰

= 2 * 16²⁵⁰

= 2 * 256¹²⁵

= 2 * 56¹²⁵

= 2 * 56 * 56¹²⁴

= 2 * 56 * 3136⁶²

= 2 * 56 * 36⁶²

= 2 * 56 * 1296³¹

= 2 * 56 * 96³¹

= 2 * 56 * 96 * 96³⁰

= 2 * 56 * 96 * 9216¹⁵

= 2 * 56 * 96 * 16¹⁵

= 2 * 56 * 96 * 16 * 16¹⁴

= 2 * 56 * 96 * 16 * 256⁷

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56⁷

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 56⁶

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 3136³

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36³

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 36²

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 1296

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 96

= 2 * 16 * 36 * 56 * 56 * 96 * 96

= 2 * 16 * 36 * 3136 * 9216

= 2 * 16 * 36 * 36 * 16

= 2 * 16 * 16 * 36 * 36

= 2 * 256 * 1296

= 2 * 56 * 96

= 10752

= 52