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Aufgabe:

3. Aufgabe
Gegeben sei der Vektorraum
$$ W=\left\{\left(\begin{array}{ll} {a} & {b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) | a, b \in \mathbb{R}\right\} $$
mit der Basis
$$ \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {-2} \end{array}\right)\right\} $$
$$ \begin{array}{l} {\text { Weiterhin sei }} \\ {\qquad L_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {-1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)} \end{array} $$
die darstellende Matrix einearen Abbildung \( L: W \rightarrow W \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \).

(a) Bestimmen Sie den Kern von \( L_{\mathcal{B}} \) und den Kern von \( L \)
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(L)) \)


Ich benötige Hilfe bei a). Den Kern von Lb habe ich bereits errechnet, aber ich weiß nicht wie man auf den Kern von L kommen kann mithilfe des Kernes von Lb. Ich würde mich über Denkansätze freuen.

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Beste Antwort

M aus Kern(L)  ⇔  L(M) = 0

wenn M1 und M2 die Matrizen in der Basis B sind, gilt ja

L(M1) = M1 und L(M2) = - M1

also L(M1 +M2) = 0 also M1 + M2 aus Kern L

Da L nicht die Nullabbildung ist und dim(W) = 2 ist also dim(Kern(L)) = 1

und M1 +M2 =

0  1
1  0    ist eine Basis von Kern (L) , also

dim( Bild (L)) = 1 .

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VIelen Dank für deine Schnelle Antwort. Ich habe alles verstanden was du geschrieben hast, nur weiß ich nicht wie man darauf kommt, dass L(M1)= M1 und L(M2)= -M1 gilt.

Wärst du so nett mir das kurz nochmal zu erklären?


Viel Dank.

In den Spalten der Matrix LB stehen die Koeffizienten, die man braucht

um die Bilder der Basisvektoren mit der Basis B darzustellen.

!. Spalte  1  0    also

L ( M1) = 1*M1 + 0* M2

entsprechend

2. Spalte  -1  0

also L ( M2) =   - 1*M1 + 0* M2

Achso! Jetzt versteh ich das alles. Vielen Dank, dass du mir so weiter geholfen hast.

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