a) lin(a,b)={λ*a+μ*b|λ,μ∈ℝ}
Für orthogonale Vektoren x,y gilt: <x,y>=0
<axb,λ*a+μ*b>=λ<axb,a>+μ*<axb,b>
berechne <axb,a>=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)*(a1,a2,a3)=(a2b3-a3b2)*a1+...... =0
--> <axb,a>=<axb,b>=0 --><axb,λ*a+μ*b>=0
a) Um zu zeigen , dass es sich um eine ONB handelt, berechne <a,b>,<a,axb>, <b,axb> um die Orthogonalität zu zeigen, das haben wir aber schon in a) gezeigt.
Fehlt nur noch die Normierung: |a|=|b|=|axb|=1
Der Beweis, dass |axb|=1 ist etwas sperrig, hier kannst du ihn nachlesen:
http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S2/Kap12_Vektorprodukt/Kap12_Vektorprodukt.html
bei c) würde ich argumentieren, dass die Abbildung wohldefiniert ist, weil uxv ungleich 0 ist und für alle und v, die die Bedingungen erfüllen auch definiert ist. Zu zeigen wäre bloß noch, das det(u,v,uxv)=1
Mit dem Hinweis im ersten Abschnitt gilt:det(u,v,uxv)=<uxv,uxv>=|uxv|^2=1 wegen |u|=|v|=1
