Inverse Funktion von f(x)=ln(4+2x-x2) auf dem Intervall (-1,1) zeigen und bilden Korrektur

Question

Hallo ich hab folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich das richtig gerechnet habe.

Zeigen sie das die Umkehrfunktion von f(x)=ln(4+2x-x²) auf dem Intervall (-1,1) eine Umkehrfunktion besitzt und berechnen sie diese.

Ich forme die Funktion also auf x um und erhalte eine Quadratische Gleichung. Diese Löse ich und bekomme die Inverse Funktion: f^-1(y)=1+-sqrt(1+e^y+4

Ist das Beispiel damit gelöst oder gibt es noch etwas zu tun?

Danke schon mal im voraus

Answer 1

f(x)=ln(-x²+2x+4)=ln(-[(x-1)²-5])=ln(-(x-1)²+5)

die Funktion ist auf (-1,1) injektiv,da ln(-(x-1)²+5) auf (-1,1) monoton wachsend ist

ln(-(x-1)²+5) ist surjektiv für W=(-1,ln(5)) --> bijektiv <-> Umkehrfunktion existier

Unkehrfunktion:

ln(-(x-1)²+5)=y

-(x-1)²+5=e^y

(x-1)²=5-e^y

x-1=±√[5-e^y]

x=1±√[5-e^y] x und y vertauschen

y=1±√[5-e^x]  D=(-1,ln(5)), W=(-1,1)

Der Wurzelterm ist immer größer als Null, daher fällt das + davor Weg, da ansonsten y niemals -1 werden könnte,was aber erfüllt sein muss wegen W=(-1,1)

y=1-√[5-e^x]

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f₁(x) = ln(-(x-1)²+5)f₂(x) = 1-(5-e^x)^0,5

Comments

Wie kommst du auf den Intervall in dem die Funktion bijektiv ist? Und warum fällt das + weg? Das Intervall ist ja offen und geht von (-1,1) also exklusive -1. Trotzdem danke für die Hilfe

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Korrektur: W=(0,LN(5)), weil lim x--->-1 f(x)=0 und f monoton wachsend, sowie f(1)=LN(5)

Ja stimmt, -1 ist nicht drin, aber man kann auch -0.99 nehmen mit der selben Begründung. Da

1+√[5-e^x] >1>-0.99  

für alle x element (0,LN(5)),  kann 1+√[5-e^x] nicht Umkehrfunktion sein, da -0.99 im Wertebereich der Umkehrfunktion liegen muss.

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Mir ist nur noch nicht klar warum ln(5) auch in deiner Menge W liegt. Ansonsten versteh ich es

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LN(5) liegt nicht drin, es handelt sich ja um offene Intervalle. Aber betrachte wieder lim x-->1 f(x)=LN(5), das hätte ich gleich so hinschreiben sollen.

Jetzt sollten alle Fehler bereinigt sein :)

Nochmal sauber aufgeschrieben:

f: (-1,1) --> (0,LN(5)), x |--> ln(-(x-1)²+5)

f^-1: (0,LN(5)) -->(-1,1), x |--> 1-√[5-e^x]

Answer 2

± im Ergebnis ist nicht erlaubt. Du musst noch entscheiden, welcher Ast passt. Zeichne mal und korrigiere noch

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f₁(x) = ln(4+2x-x²)f₂(x) = 1-√(1-e^x+4)f₃(x) = 1+√(1-e^x+4)f₄(x) = xx = 1f₅(x) = 1f₆(x) = -1x = -1

Markiere nun den gegebenen Bereich der blauen Kurve. Spiegle an y=x und kontrolliere, was denn nun das richtige Stück Umkehrfunktion sein könnte. 

Comments

EDIT: Vielleicht hast du einfach Klammern vergessen? Deine "Lösung"  passte allerdings noch nicht richtig.

Habe nun oben etwas weiter rumgespielt. Musste noch ein + in ein Minus umwandeln.

Betrachte auch noch die andern Antworten. 

Answer 3

Ungefähr richtig:

aber ± kann ja nicht in der Fkt-gl. stehen.

richtig ist - .  und - vor e^x  .

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f₁(x) = ln(4+2x-x²)f₂(x) = 1-√(5-e^x)

Answer 4

f(x) =  ln(4 + 2x - x²)    , D_max = [ 1-√5 ; 1+√5 ]

 →   f '(x) = 2·(x - 1) / (x² - 2·x - 4)  >  0   ⇔  1 - √5 < x < 1

→ f ist in x ∈ [-1 , 1]  streng monoton steigend, insbesondere also injektiv

→  f_e: [-1 ; 1] → ℝ  besitzt eine Umkehrfunktion  f_e( [-1;1] ) = [ 0 ; ln(5) ]

y = ln(4 + 2x - x²) ,  x ∈ [-1 , 1]

Umformen nach x:

....

x = 1 - √(5 - e^y)

Umkehrfunktion:

f ^-1 : [ 0 , ln(5) ]  → [-1 ; 1]   ; f ^-1(x) = 1 - √(5 - e^y) 

Gruß Wolfgang