z^5 + 12i = 0. Komplexe Zahlen berechnen

Question

Meine Aufgabe lautet die Gleichung im Bereich Komplexe Zahl auszurechenn :

z^5+ 12i = 0

Ich weiß jedoch nicht was das z^5 sein soll ? Soll ich es einfach so betrachten als wäre es z ?

Ansonsten dachte ich mir ich formuliere es mal um nach z^5 = -12i und ziehe die 5 Wurzel aber dann hab ich das Problem dass (-12i) in der Wurzel steht (negativer Wert)

Wie soll ich vorgehen ?

Answer 1

z^5 + 12i = 0

z^5 = -12i

und jetzt 5. Wurzel, ganz recht, davon gibt es in C 5 Stück.

Bei  -12i ist der Winkel 270°, also ist eine der 5. Wurzeln

schon mal die zum Winkel von 54° mit Betrag  5. Wurzel(12).

Answer 2

 z⁵ = -12i          | umrechnen in die Polarform z^5 = r * e^{i φ} 

z^5 = 12 * e^{ 3π i/2} 

Und nun von der Polarform von z^5 die 5. Wurzeln bestimmen. 

z = ⁵√(12) * e^{ 3πi/10 + 2kπi/5} , k ∈ { 1,2,3,4,5 }

Wenn du willst, darfst du nun die 5 unterscheidbaren Resultate wieder in die kartesische Form umformen. 

Answer 3

z^5+12i=0

z^5=-12*i

-i=e^{i*3/2*π}

z^5=12*e^{i*3/2π}

z₁=12^{1/5}*e^{i*3/20*π}

z₂=12^{1/5}*e^{i*7/20*π}

z₃=12^{1/5}*e^{i*11/20*π}

z₄=12^{1/5}*e^{i*15/20*π}

z₅=12^{1/5}*e^{i*19/20*π}