Integrationsrechung1Übung

Question

kann mir bitte jemanden bei deiser Aufgabe helfen?

Danke für die Rückmeldung!

Stellen Sie die Funktionsgleichung eines Halbkreises um den Ursprung mit

Radius r=2 explizit dar. Lassen Sie diese Halbkreisfläche um die x-Achse rotieren

und berechnen Sie mit der Volumenformel für die Drehung um die x-Achse das

Kugelvolumen dieser Kugel. Bestätigen Sie allgemein die Formel für das

Kugelvolumen, welche Sie noch aus der Schule kennen

Answer 1

K: x^2 + y^2 = 2^2 --> f(x) = √(4 - x^2)

V = ∫(pi·√(4 - x^2)^2, x, -2, 2) = 32/3·pi

aus der Schule

V = 4/3·pi·r^3 = 4/3·pi·2^3 = 32/3·pi

Sieht soweit also gut aus.

Comments

Du hast hier allerdings noch Zwischenschritte selber zu erbringen wie z.B. ermittlung der Stammfunktion etc.

---

hallo danke für die Rückmeldung.
wäre das nicht :   K: 1/2 x² + 1/2 y² = 2²   , weil halbkreis?                            

---

Die Gleichung x² + y² = 2 ergibt einen Vollkreis. Es ist allerdings keine explizite Darstellung als Funktion. Die bekommst du indem du nach y auflöst. Damit geht allerdings eine Hälfte des Vollkreises verloren, weil eine Funktion zu einer x-Koordinate nur maximal eine y-Koordinate besitzt.

---

okay! hab verstanden.

vielen Dank! :)

Answer 2

f(x) = √ ( 4 - x^2 )

V =  pi *  ∫ von -2 bis 2  uber f(x) ^2  dx  =   32/3 pi .

Answer 3

Die Gleichung $$ y = \sqrt{ r^2-x^2 } \quad\land\quad -r \le x \le r $$ wäre eine mögliche Darstellung. Sie beschreibt den oberen Halbkreis.

Answer 4

 Bestätigen Sie allgemein die Formel für das

Kugelvolumen, welche Sie noch aus der Schule kennen

Halbkreis y = √(r² - x²)

V =  π •  _-r∫^r (  (√(r² - x²))² dx = π • 2 • ₀∫^r (r² - x²) dx   (Symmetrie zur y-Achse)

 = 2π • [ r²x - 1/3 x³ ]₀^r =  2π • (r³ - 1/3 r³)  =   4/3 π r³ 

Gruß Wolfgang

Answer 5

r^2 = x^2 + y^2
y^2 = r^2 - x^2
f ( x ) = √ ( r^2 - x^2 )

Fläche an der Stelle x
f ( x ) ist der Radius eines Drehkreises
A ( x ) =  f ( x ) ^2 * π
A ( x ) = ( √ ( r^2 - x^2 ) ) ^2 * π
A ( x ) = ( r^2 - x^2  ) * π

Stammfunktion
∫ A ( x ) dx = ∫ ( r^2 - x^2  ) * π dx
π ∫ ( r^2 - x^2  )  dx
π * ( r^2 * x - x^3 / 3 )

Volumen ( nur die rechte Hälfte )
V =  [ π * ( r^2 * x - x^3 / 3 ) ] 0 r
V =  π * [ ( r^2 * x - x^3 / 3 ) ] 0 r
V  =  π * [ r^2 * r - r^3 / 3 ) - ( 0^2 * r - 0^3 / 3  )  ]
V  =  π * [ 2 / 3 * r^3   ]

Beide Halbkugeln
V =  2 * π * 2 / 3 * r^3 
V =  4 / 3 * π * r^3

mit r = 2
V = 32 / 3 * π