Trigonometrische Gleichung 2*cos(x) - √2 = 0 lösen. Eingabe Taschenrechner?

Question

geg.: 2*cos(x) - √2 = 0

ich bekomme raus: x1= π/4   ;    x2= 7/4π

wenn ich es im CAS eingebe komm etwas ganz anderes raus, ist dann mein ergebnis falsch?

Answer 1

Dann hast Du es falsch in den CAS eingegeben.

Die Lösungen sind durchaus richtig, auch wenn es natürlich weit mehr gibt ;).


Grüße

Comments

da steht nur noch eine Eingrenzung, nämlich [-pi; 2pi], muss ich das berücksichtigen?

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Ja musst Du.

Das führt Dich zu einer weiteren Lösung bei x₃=-1/4π.

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Nein, diese dritte Lösung ist falsch.

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Sry ein Schreibfehler. Hatte das richtige gemeint.
Danke fürs Aufpassen.

Answer 2

2 * cos(x) - √2 = 0

2 * cos(x) = √2

cos(x) = √2 / 2 = 2^{1/2} * 2^{-1} = 2^{1/2-1} = 2^{-1/2} = 1/√2

=>

x = 45

Comments

Nein!

Zunächst meinst du sicher 45 GRAD.
Viel wichtiger ist aber, dass der letzte Implikationspfeil nicht stimmt. Die Umkehrung würde gelten, aber aus cos(x) = 1/√2 folgt nicht x=π/4.

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Sorry, stimmt:
Natürlich meinte ich 45° :-)

Und ich verstehe auch, dass 45° nicht die einzige Lösung ist, da sich cos(x) ja periodisch wiederholt.
Danke für die Korrektur!

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Allerdings ergeben sich nicht nur wegen der Periodizität weitere Lösungen – auch im Intervall [0,2π] gibt es noch eine zweite.

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Auch das ist richtig :-)

Answer 3

Hi, mein CAS sagt dieses:

Eingabe: solve( 2*cos(x) - sqrt(2) = 0,x)

Ausgabe: { 1/4*PI + 2*X3*PI |  X3 in Z_ } union { 2*X4*PI - 1/4*PI |  X4 in Z_ }

Also genau das, was man auch ohne CAS heraus bekommt.

Eingeschränkt auf [-pi; 2pi] ergibt dies { (-1/4)*PI, (1/4)*PI, (7/8)*PI }.

Eingeschränkt auf [-pi; 2pi] ergibt dies { (-1/4)*PI, (1/4)*PI, (7/4)*PI }.

Comments

Auch hier ist die dritte Lösung falsch. Es ist 7/4π

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Ja, das stimmt. Ich habe es oben berichtigt.