Frage über alternierende Reihen und Konvergenz

Question

Hi,

Also ich hab schwierigkeiten bei 2 Beispiel Aufgaben getroffen, nämlich

∑ _n=0 bis ∞ (-1)ⁿ n! / 2ⁿ. Okay also wenn es nur n! / 2ⁿ wäre, dann ist es nicht schwer mitm Q.K zu untersuchen, d.h. ich weiß was ich machen soll. Aber was passiert wenn die Reihe alternierend ist (-1)ⁿ? Wie soll die Lösung aussehen?

Und bei der 2ter Aufgabe muss ich sicherlich Das Majorantenkriterium benutzen, weiß aber nicht wie genau..

∑_n=2 bis ∞ 2 / (n²-1)

Ich freue mich sehr über eine Antwort. )

Answer 1

∑ _n=0 bis ∞ (-1)ⁿ n! / 2ⁿ.

Die Summanden a_(n) konvergieren NICHT gegen 0. Daher kann die Reihe nicht konvergieren, egal ob sie alternierend ist oder nicht. 

|a_(n)| = | (-1)^n * n! / 2ⁿ | = 1/2 * 2/2 * 3/2 * 4/2 ......* n/2  > 1/2 * 2/2 * 2/2 * .... * 2/2 = 1/2 > 0

q.e.d. 

∑ _n=0 bis ∞ (-1)ⁿ n! / 2ⁿ 

konvergiert nicht. 

Das Zweite ist ziemlich sicher eine Teleskopsumme, bei der du dann sogar den Grenzwert angeben kannst.

Beginne mit

2/(n^2 - 1) = A/(n-1)    + B/(n+1) . Majorantenkriterium geht aber auch! 

Comments

Vielen Dank TR!

Das Zweite habe ich auch schon angefangen, weiß aber nicht was folgt als nächstes.

Eine kurze Frage zu dem ersten Aufgabe : Haben die  n! / 2ⁿ und (-1)ⁿ  n! / 2ⁿ die gleiche Lösung?

Mfg

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" Haben die  n! / 2ⁿ und (-1)ⁿ  n! / 2ⁿ die gleiche Lösung? "

Ja. Beide konvergieren nicht, weil die Summandenfolge (betragsmässig) nicht gegen 0 konvergiert. 
Du kannst auch noch|a_n| = | n! / 2ⁿ | = 1/2 * 2/2 * 3/2 * 4/2 ......* n/2  > 1/2 * 2/2 * 2/2 * .... * 2/2 = 1/2 > 0 

anfügen. 

Zweite Frage

∑_n=2 bis ∞ 2 / (n²-1)       | Summanden sind alle grösser als 0. 

= 2 ∑_n=2 bis ∞ 1 / (n²-1)  

= 2 * ( 1/ (4-1)  + 1/(9-1) + 1/(16-1) + 1/( 25-1).....)   | Jeden Nenner verkleinern. 

< 2 * (1/1  + 1/4 + 1/9 + 1/ 16 + ......)    [ konvergente Majorante] q.e.d.

Grund 

(n-1)^2   < (n^2 - 1)

wenn

n^2 - 2n+1 < n^2 - 1   

<==>

-2n < -1

<==>

1 < 2n

<==> 

1/2 < n , was erfüllt ist, wenn man mit n=2 beginnt. 

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Achso, jetzt ist mir alles klar, danke dir sehr :) Zu dem ersten Frage : Ich hab gemeint, wenn n=1 oder mehr ist, z.B ∑_n=1 bis ∞ (-1)ⁿ und dann etwas beliebiges.

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Bitte. Ich hoffe, das hat sich inzwischen erledigt.

" Ich hab gemeint, wenn n=1 oder mehr ist, z.B ∑_n=1 bis ∞ (-1)ⁿ und dann etwas beliebiges.  "

Ist nicht ganz einfach zu deuten. Du meinst, wenn die Summe nicht bei n=0, sondern bei n= 1 oder z.B. n=5 beginnt? 

Das ist eigentlich mathematisch selten ein grosses Problem, dann man lässt ja nur endlich viele Summanden weg. Solche Summen kann man exakt ausrechnen und stellt dabei zweifelsfrei fest, ob sie endlich sind oder nicht. Interessant ist es immer erst, wenn man unendlich viele "kleine" Summanden hat und nicht weiss, ob die Summanden "klein" genug sind, so dass die Summe der unendlich vielen Summanden noch endlich ist.