Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann erkrankt ist?

Question

vielleicht kann mir ja jemand bei der Aufgabe helfen:

Aus der Konzentration des Prostata spezifischen Antigens (PSA) im Blut eines Patienten soll auf eine Krebserkrankung der Prostata geschlossen werden. Allerdings bedeutet ein erhöhter PSA Wert nicht zwangsläufig, dass eine Krebserkrankung besteht. Nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit kann auf einen Tumor in der Prostata geschlossen werden. Umgekehrt kann aber bei einem nicht erhöhten PSA Wert auch nicht mit letzter Sicher- heit ein Prostatakarzinom ausgeschlossen werden. Bei einem gesunden Mann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen erhöhten PSA-Wert 0,135 und bei einem erkrannten 0,268. Wenn ein Mann, der zu einer Risikogruppe gehört, bei der mit 70% Wahrscheinlichkeit Prostatakrebs auftaucht zu einem Arzt geht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann erkrankt ist wenn ...

(a) der PSA-Wert erhöht ist?

 (b) der PSA-Wert normal ist? 

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

G: Mann ist gesund, ¬G: Mann ist krank. P(¬G) = 1 - P(G)

H: Mann hat erhöhten PSA-Wert, ¬H: Mann hat normalen PSA-Wert. P(¬H) = 1 - P(H).

> Bei einem gesunden Mann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen erhöhten PSA-Wert 0,135 ...

P_G(H) = 0,135

> ... und bei einem erkrannten 0,268

P_¬G(H) = 0,268

> ... Risikogruppe gehört, bei der mit 70% Wahrscheinlichkeit Prostatakrebs auftaucht

P(¬G) = 0,7

> dass der Mann erkrankt ist wenn ... (a) der PSA-Wert erhöht ist?

Gesucht ist P_H(¬G).

Berechne dazu P(H) mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Berechne anschließend P_H(¬G) mit der Formel von Bayes.

> dass der Mann erkrankt ist wenn ...  (b) der PSA-Wert normal ist?

Gesucht ist P_¬H(¬G).

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Wenn P(A) = 1 - P(B) ist, dann ist

        P(X) = P_A(X)·P(A) + P_B(X)·P(B).

Formel von Bayes. P_A(B) = P_B(A)·P(B)/P(A).