Beweise uneigentliches Integral mit Wurzel unter dem Bruchstrich auf Existenz

Question

$$\int _{ a }^{ b }{ \frac { 1 }{ \sqrt { E-V(x) }  } dx }$$ 

gegeben: V(a)=V(b)=E, V(x)<E für alle x im Intervall (a,b) und V`(a) und V'(b) jeweils ≠0

Ich danke für Antworten!!

Comments

Hast du schon die Stammfunktion gebildet?

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Ist das denn so allgemein möglich?

Answer 1

∫_a^b 1/sqrt(E-V(x))dx>∫_a^ε 1/sqrt(E-V(x))dx+∫_b-ε^b 1/sqrt(E-V(x))dx

=∫_a^ε 1/sqrt(V'(a)*(x-a))dx+∫_b-ε^b 1/sqrt(V'(b)*(x-b)))dx=-2*[sqrt(V'(a)*ε)-sqrt(V'(b)*ε)]<∞

Das erste größer Symbol stört nicht, weil ich dort nur einen endlichen Beitrag wegnehme (Funktion ist dort stetig)

Comments

okay, das > verstehe ich, leider kann ich deine schritte danach nicht mehr nachvollziehen, wo ist das E geblieben? 
Und beim letzten Schritt komme ich auch auf ein anderes Ergebnis wenn ich das integriere

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Für V(x) kannst du Taylorenentwicklung einsetzen: V(x)=E+V'(a)*(x-a) bzw. im zweiten Integral  V(x)=E+V'(b)*(x-b)

Dann kürzt sich E in der Wurzel weg.

Danach hab ich Quatsch gemacht , es muss beim ersten Integranten bis a+ε gehen,

∫_a^a+ε 1/sqrt(E-V(x))dx+∫_b-ε^b 1/sqrt(E-V(x))dx =∫_a^a+ε -1/sqrt(V'(a)*(x-a))dx+∫_b-ε^b -1/sqrt(V'(b)*(x-b)))dx

=-2/sqrt(V'(a))*sqrt(x-a)|_a^a+ε-2/sqrt(V'(b))*sqrt(x-b)|_b-ε^b

=-2/sqrt(V'(a))*sqrt(ε)+2/sqrt(V'(b))*sqrt(ε)<∞

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okay das kann ich jetzt alles nachvollziehen, und ich kann aus dem Ergebnis auch schlussfolgern dass das Integral endlich ist.

Mein Problem: müsste im letzten Term nicht MINUS ε in der Wurzel stehen?

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upps, ja da muss ein Minus drin sein. Wenn das Integral konvergiert muss es kleiner als Unendlich sein (vom Betrag her)

Das zeigt die obige Rechnung, weil im Endergebnis nur noch konstante Terme vorkommen. Das ist also eine reelle Zahl.

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okay, und obwohl E∈ℝ und V:U-->ℝ ist es kein Problem wenn die Konstante ∈ℂ ist? 
wenn ja bin ich sehr glücklich und danke dir sehr für deine Antwort und dass ich dir die ganzen Fragen stellen konnte. :)

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Die Konstante ist in diesem Fall eine reelle Zahl, weil E und V reelle Werte sind und auch die Ableitung von V sowie ε∈ℝ .

Man kann die Konvergenz eines Integrals auch im Komplexen untersuchen, das ist aber hier nicht notwendig.

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ja okay, sorry falsch ausgedrückt. ε reell, aber der Term ja dann nicht mehr (sqrt(-ε))
aber da konstant ist gezeigt was gezeigt werden sollte nehme ich an :D