Grenzwerte bestimmen ohne Differentialrechnung. lim (x^3/(x^2-1) - x) ... lim ((2 - √(4-x))/x)

Question

Kann mir hier jemand bei der Grenzwertbestimmung helfen?

Answer 1

a)

lim_x→∞  [ x³/(x²-1) - x ]   =  lim_x→∞  [ ( x³ - x*(x²-1) ) / (x²-1) ]

=  lim_x→∞  [ (x / (x²-1) ] = 0

b) 

lim_x→2  [ (x-2) * √(3-x) / (x²+x-6) ]

 =  lim_x→2  [ (x-2) * √(3-x) / ( (x-2) (x+3) ) ]   | x-2 wegkürzen

 = lim_x→2  [ √(3-x) / (x+3) ) ] = 1/5

c)

lim_x→0  [ (2 -√(4-x) )  / x ]  =  " 0 / 0"

→ Regel von de l' Hospital anwenden,

lim  (Zählerableitung / Nennerableitung ) bestimmen:

=  lim_x→0  [ 1/ (2*√(4-x) / 1 ] = 1/4

Gruß Wolfgang

Answer 2

c) ohne Hospital. x gegen 0.     

lim ((2 - √(4-x))/x)             | Differenz mit Wurzel ==> mi 3. Binom erweitern

= lim ((2 - √(4-x))(2 + √(4-x))/(x(2+√(4-x)))

= lim ( (4 - (4-x))/(x(2+√(4-x)))

= lim ( x))/(x(2+√(4-x)))

= lim ( 1)/(2+√(4-x))

= 1 / ( 2 + √(4-0)) = 1/(2+2) = 1/4

Anmerkung. Da x in der Umgebung von 0, ist 4-x > 0 und bei (4-x) keine Betragsstriche und Fallunterscheidungen nötig.