Wie berechnet man Asymptoten?

Question

ich habe mich im Internet, in Lehrbüchern und etc. über die Berechnung von Asymptoten informiert, habe aber jedes Mal eine andere Rechnungsart gesehen und bin nun überfordert. Welche Rechnung soll ich anwenden? Und gibt es mehrere? 

Mein zweites Problem ist noch, dass ich den Unterschied zwischen Polstelle, Definitionslücke und Asymptote  nicht kenne.

Wäre sehr lieb, wenn jemand mir helfen könnte und bitte mit Beispielen am besten. :)

LG

Answer 1

ich habe mich im Internet, in Lehrbüchern und etc. über die Berechnung von Asymptoten informiert, habe aber jedes Mal eine andere Rechnungsart gesehen und bin nun überfordert. Welche Rechnung soll ich anwenden? 

Und gibt es mehrere? 

Bevor du irgendetwas rechnest,  muss der Begriff Asymptote präzisiert sein.

In der Schule werden oft nur Asymptoten angeschaut, die Geraden sind. 

Eine Asymptote an eine Kurve ist dann eine Gerade, die sich im Unendlichen beliebig genau an die Kurve annähert. 

Je nach Funktionstyp berechnet man die Asymptoten unterschiedlich.

Graphen e-Funktionen der Form f(x) = ae^bx haben immer die x-Achse  als (horizontale) Asymptote. (Allerdings dann nur in einer Richtung). Das musst du einfach wissen und brauchst nichts zu rechnen.

Graphen von gebrochenrationalen Funktionen haben in den Polstellen ( Nullstellen des Nenners, die nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers sind) vertikale (senkrechte) Asymptoten. Sie können auch horizontale oder schräge Asymptoten haben. Die schrägen Asymptoten findest du über eine Polynomdivision. Die horizontalen, kannst du meist durch genaues Hinsehen bestimmen. Wenn nicht: Grenzwert ausrechnen.

Der Graph des Tangens besitzt unendlich viele, vertikale Asymptoten. Hier musst du auch einfach den Graphen kennen und kannst deren Gleichungen (x = π/2, x= 3π/2, x= 5π/2.... ) dann gleich hinschreiben. 

Weitere Tipps dazu: Andere Antwort und Rubrik "ähnliche Fragen". 

 

Answer 2

    Ich bin so ziemlich der erste, der eine Definition vo Asymptote angegeben hat. Eine Asymptote ist eine uneigentliche Tangente, also wenn x oder y Unendlich wird. Du berechnest ganz normal die Tangente an der Stelle x0 und lässt x0 gegen die kritische Stelle gehen.

   Was ist eine Polstelle n-ter Ordnung?  Sei y = f ( x ) ; dann definierst du die Funktion

     g  (  x  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^  n      (  1  )

     Wir sagen, f ( x ) besitzt eine Polstelle n-ter Ordnung in x0, falls der Grenzwert existiert

    g0  :=           lim             g  (  x  )          (  2a  )

                     x ===> x0

   

        g0  <  >  0      (  2b  )

      Ungleichung  ( 2b ) ist wesentlich; sonst könnte n ja ( fast ) alles sein.

   Kleine Hausaufgabe zum Verständnis. Wenn f einen Pol erster Ordnung hat, so f ^ n einen pol n-ter Ordnung.

Answer 3

> Mein zweites Problem ist noch, dass ich den Unterschied zwischen Polstelle, Definitionslücke und Asymptote  nicht kenne.

Ich entnehme dem, dass du die Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion meinst:

Du führst eine Polynomdivision  Zähler / Nenner (ggf. mit Rest) durch.

Die ganzrationale Funktion, die sich ergibt, wenn man den Rest vernachlässigt, ist die Asymptotenfunktion.

Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners (Division durch 0 verboten)

Polstellen sind die Definitionslücken, bei denen der Grenzwert von f(x) = ± ∞ ist, wenn sich x dieser DL nähert.

Gruß Wolfgang