Funktion P. Polynomdivison, Zwischenwertsatz, Nullstellen. P(z)= 2z^{4} + z^{3} +20z -12

Question

Es sei P: ℂ -->ℂ definiert durch P (z)= 2z^{4} + z^{3} +20z -12

a) berechne P (0) und P (1) und beweisen sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes dass P mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. 

P (0)=-12

P (1)= 25

Nachdem Nullstellen Satz bzw. Zwischenwertsatzes gilt wenn f (a) <= x <= f (b) in diesem Bsp. F (0) <= x <= f (1) muss mindestens.  Eine Nullstelle vorhanden sein.

b) berechne P (2i) wobei gilt i^2=-1

P (2i) = -8 +30i

c) berechne mittels polynomdivison P (z) : (z^{2} +4)

Ich erhalte als ergebnis: 2z^{2} + 5z -8 + 20/ (z^{2} +4) 

Rest: 20

d)berechnen sie alle Nullstellen von P

Zählt z^2+4 als Nullstelle auch wenn Rest übrig bleibt?

Answer 1

Hallo Samira, 

ich habe leider keine guten Nachrichten für dich:

P (z)= 2z⁴ + z³ + 20z -12

a)   

außer dem Rechenfehler richtig

P (0)=-12

P(1)=  25   f      P(1) = 11 

b) 

> P (2i) = -8 +30i   f

P(2i) = 20 + 32·i

Du musst wohl vor allem  i² = -1 , i³ = - i  und i⁴ = 1  beachten.

c)  

> Ich erhalte als Ergebnis: 2z² + 5z -8 + 20/ (z² +4)  f

Online-Rechner (mit Rechenweg)     hier

Ich schreibe x für z:

(2x^4 + x^3          + 20x  - 12) : (x^2 + 4)  =  2x^2 + x - 8   Rest  16x + 20  

 2x^4        + 8x^2             

 ————————————---------------

         x^3  - 8x^2  + 20x  - 12

         x^3            +  4x      

         —————————---

             - 8x^2  + 16x  - 12

              - 8x^2             - 32

                          16x  + 20

Ergebnis:  ( 2z^4 + z^3 +20z -12) : ( x^2 + 4) =  2x^2 + x - 8  + (16x  + 20) / ( x^2 + 4)

d)

2z⁴ + z³ +20z -12 = 0

Jetzt wird es schlimm:

Der Online-Rechner  (mit Rechenweg) gibt  - genau wie mein Matheprogramm - diese Lösungen an:

z₁ = 0.7075633229 - 1.911479302·i  ,  z₂ = 0.7075633229 + 1.911479302·i

z₃ = 0.5790497545  , z₄ = - 2.494176400

aber ich kann mir nicht vorstellen, dass du dir den Rechenweg antun willst :-). Wenn doch, dann musst du die Gleichung dort eingeben! Die beiden reellen Lösungen kann man allerdings mit dem  Newtonverfahren (numerisches Näherungsverfahren) mit erträglichem Aufwand finden.

z₁ = 0.7075633229 - 1.911479302·i  ,  z₂ = 0.7075633229 + 1.911479302·i

z₃ = 0.5790497545  , z₄ = - 2.494176400

Mein Matheprogramm gibt die exakten Lösungen an, aber diese haben so viele Wurzeln, dass sie nicht in die Zwischenablage des Computers passen.

   Gruß Wolfgang

Comments

Wie hast du die nullstellen erhalten? Es ist ja eine funktion 4.grades. da fynktipniert ja nur polynimdivison 

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Zu welchem Stoff gehört die Aufgabe überhaupt und hast du sie richtig wiedergegeben?

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Hallo Wolfgang, ich muss leider sagen ich habe eine zahl vergessen aufzuschreiben und somit steht hier nun die falsche gleichung die richtige lautet: P (z)= 2z⁴ + 5z³ +20z -12

es tut mir echt leid:/

P(1)=15

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hatte ich schon befürchtet, schaue später noch einmal danach.

Nur wer arbeitet, macht Fehler  :-)

Schau deshalb nochmal in 

https://www.mathelounge.de/370306/losen-von-ungleichungen-falle

Ich musste da leider etwas korrigieren.

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P(z) = 2z⁴ + 5z³ +20z -12 

b)

P(2i) = 2*16 + 5*8*(-i)+20*2i -12 = 20 

c)

Ergebnsi:  2z² + 5z - 8 + 20 / (z² + 4)  richtig

 d)

2z⁴ + 5z³ +20z -12 = 0 ergibt auch nichts Erfreulicheres:

z₁ ≈ 0.2115690968 - 1.760693134·i    ,    z₂ ≈ 0.2115690968 + 1.760693134·i

z₃ ≈ -3.472562534  und    z₄ ≈ 0.5494243409

Was ich bei d) geschrieben habe, gilt auch hier.

Wie dort gesagt, kann man die beiden reellen Nullstellen mit einem normalen Taschenrechner ausrechnen:

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

 f(x) = 2x⁴ + 5x³ +20x -12   ,   f '(x) = 8x⁴ +15x³ + 20

Starwert 1 ergibt:

x	f(x)	f '(x)
1	15	43
0,651162791	2,763337205	28,5690065
0,554437789	0,129921229	25,97449793
0,549435912	0,00029918	25,85510625
0,549424341	1,58856E-09	25,85483169
0,549424341	0	25,85483169

Startwert x = - 4 ergibt:

x	f(x)	f '(x)
-4	100	-252
-3,603174603	19,14850326	-159,4932913
-3,483116241	1,42576438	-136,0786004
-3,472638735	0,010220245	-134,1302132
-3,472562539	5,37738E-07	-134,1160988
-3,472562535	2,84217E-14	-134,116098

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Dankeschön, aber das Newtonverfahren kenne ich gar nicht und weiss wirklich nicht was es ist. Ja nun weiss ich dass ein Nähtungsverfahren zur nullstellenberechnung ist.

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Immer wieder gern.

Und oben steht auch, wie das Newtonverfahren funktioniert :-)