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hallo,

könnte mir bitte jemand dabei helfen beide aufgaben z lösen, das problem ist dass das eine ein bruch ist und die andere gleichung hat ja 3 nullstellen aufgrund des 2.grades.


1. I x^2 - 9 I < I x - 1 I

2. x - 1 / (x+1) < 1


dankeschön:)

von

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Hallo Samira,

1)

  I x2 - 9 I < I x - 1 I 

Ein Verfahren, das immer funktioniert, wenn nur einzelne Beträge (also keine Beträge in einem Betrag) gegeben sind:

Die Terme in den Beträgen haben die Nullstellen x1,2 = ± 3  und  x3 = 1

Damit hast du die Fälle: x ≤ -3  ,  -3 < x < 1 ,  1 ≤  x  ≤ 3  und  x > 1

Für jeden Fall erhältst du eine betragsfreie Unleichung, wenn du 

- falls der Term im jeweiligen Betrag positiv ist,  |A| durch A ersetzt

- falls der Term im jeweiligen Betrag negativ ist,  |A|  durch -A  ersetzt

Da es sich jeweils um quadratische Ungleichungen handelt, habe ich ein Lösungsverfahren dazu unten angegeben [#]

Kontrolllösung:

- √41/2 - 1/2 < x < 1/2 - √33/2   oder   √41/2 - 1/2 < x < √33/2 + 1/2

2)

   x - 1 / (x+1) < 1

hier kannt du mit  x+1 mulitiplizieren, um den Nenner loszuwerden.

Dabei musst du du die beiden Fälle  x > -1  [ x+1>0]  und x < -1  [ x+1<0] unterscheiden, weil sich im 2. Fall das Ugleichheitszeichen umdreht:

Edit nach Kommentar (weil links nur die 1 auf dem Bruch steht) :

 x · (x+1)  < x+1  für  x >-1    oder   x · (x+1)  <  x+1  für  x < -1  

Du musst also auch hier zwei quadratische Ungleichungen lösen.     [# vgl. unten]

[ leider falsch war:

also:   x -1 < x+1  für  x >-1      oder    x-1 > x+1 für x<-1    ergibt direkt   x ≥ -1 ]

--------------

[#]

Lösen einer quadratischen Ungleichung   x2 + px + q  > [<, ≤, ≥]  0

Die zugehörige Gleichung x2 + px + q = 0  hat die Lösungen

1)  für  (p/2)2 - q > 0  die Lösungen   x1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)  

2)  für  (p/2)2 - q = 0  die Lösung   x1 = - p/2

3) für  (p/2)2 - q < 0  keine Lösung

Nun stellt man sich den Parabelterm auf der linken Seite der Gleichung vor. Dessen Graph ist nach oben geöffnet. 

Die jeweilige Ungleichung (mit Ungleichheitszeichen indiziert) hat also die Lösungsmenge:

1)

L = ] -∞ ; x2 [ ∪ ] x1 ; ∞ [    ,      L  = ] -∞ ; x2 ] ∪ [ x1 ; ∞ [

L<  = ] x2 ; x1 [    ,    L  = [ x2 ; x1 ]

2)

L>  = ℝ \ { x1 }     ,    L  = ℝ   ,   L<  = { }   ,     L = { x1 }

3)

L> =  L  = ℝ     ,          L< =    L   = { } ,     

Gruß Wolfgang

 


von 79 k

zu 2) Die linke Seite weist nur eine Klammer auf.

Da hast du natürlich recht, danke für den Hinweis. Grobes Versehen meinerseits . Werde es in der Antwort korrigieren.

(Kam mir gleich zu einfach vor :-)

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