Reihe auf Konvergenz untersuchen mit n2 im Exponenten. Σ ((n+1)/n)n^2 xn und Σ ((n+1)/n)n^2

Question

Hi,

wie löse ich diese Aufgaben? Σ ((n+1)/n)^{n^2} xⁿ

Mit dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium komme ich hier nicht weiter...

Answer 1

Woran scheitern denn die beiden Kriterien?

ⁿ√ ((n+1)/n)^{n^2} )  

= ((n+1)/n)ⁿ

= (1 + 1/n)ⁿ

und https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

Comments

Oh, da stand ich wohl auf dem Schlauch... Danke.

Und bei der c) sagt das Wurzelkriterium zwar nichts aus, aber es ist keine Nullfolge und daher kann die Reihe nicht konvergieren?

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Wenn der Konvergenzradius von b) kleiner als 1 ist, kann c) nicht konvergieren (man müsste bei b) x=1 einsetzen, um auf c) zu kommen)

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Ach stimmt dass hätte man ja gleich sehen können :))

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jc2144: Du hast die Berechnung des Konvergenzradius dafür sauber hingschrieben.

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hj2144 bin ich nicht :p

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Ich sollte für heute mit Mathe aufhören...

Danke.

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jc2144. Sorry. Habe deinen "Namen" in meinem Kommentar korrigiert.

Answer 2

nutze die Formel von Cauchy-Hadamard:

r=1/lim sup n---> ∞ |a_n|^1/n

es ergibt sich also

r=1/lim sup n---> ∞ ((n+1)/n)ⁿ=1/lim n---> ∞ (1+1/n)ⁿ =1/e

der letze Grenzwert sollte dir geläufig sein, denn er ist (eine) Möglichkeit der Darstellung von e

bei c)

es gilt ((n+1)/n)^{n^2}>=((n+1)/n)ⁿ=(1+1/n)ⁿ

Der letzte Term strebt gegen e, also nicht gegen Null. Folglich ist ((n+1)/n)^{n^2} keine Nullfolge und die Reihe divergiert.