Definitionsbereich und Schnitt x-Achse e^x-e^y-1=0

Question

Wie lautet der Definitionsbereich und Schnittpunkt mit der  x-Achse von folgender Funktion:

 e^x-e^y-1=0

Mein Ansatz:

Habe nach x umgestellt und bin auf x = ln(1+e^y) gekommen. Wenn ich das nun einsetze stimmt die Gleichung zwar (0 = 0), aber das kann so ja noch nicht alles sein.

Zum Schnittpunkt mit der x-Achse:

Ich würde x = 0 setzen, daher würde e^y rauskommen - ist das korrekt?

Answer 1

Es gilt: y=0

e^x-e^0-1=0

e^x-1-1=0

e^x=2

x= ln2

Answer 2

Funktionsgleichungen beginnen aber mit y= .....

Das gibt hier y = ln( e^x - 1 ) und das geht ja

nur, wenn e^x > 1    also   x  > 0 gilt.

Damit ist der Definitionsbereich = IR⁺   .

Schnitt mit der x-Achse, wenn y = 0 , also

wird aus  e^x-e^y-1=0

dann  e^x-e⁰-1=0

  e^x-1-1=0

  e^x=2

x = ln(2) Also SP ist (  ln(2) ; 0 ) .

Answer 3

e^x-e^y-1=0 

e^y = e^x - 1  | ln(...)

y = ln(e^x - 1)    D = ] 0,∞ [    ( e^x -1 > 0 )

Schnittstelle mit x-Achse (y=0)

ln(e^x - 1) = 0   | e^...

e^x - 1  = e⁰

e^x  = 2    | ln(...)

x = ln(2)    →  S_x-Achse = (ln(2) | 0)

Gruß Wolfgang