Funktion 4. Gerades im Sachzusammenhang bestimmen. Umgehungsstrasse

Question

Ich brauche ml euren Rat bei dieder Aufgabe:

Durch das Zentrum Z eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die symmetrisch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft, in A und B tangential in die geradlinige Hauptstraße mündet und 500m nördlich vom Dorf durch den Punkt C führt (vgl. Figur 1, eine LE entspricht 1km). Bestimmen Sie die Gleichungen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für -1 < x < 1 beschreiben könnte.

Also da die Funktion achsensymmetrisch ist verläuft gilt:

f (x) = ax⁴+bx²+c

f' (x) = 4x³+2bx

Außerdem wissen wir folgendes:

f (0) = 1

f (-1)= 0,5

f (1) = 0,5

f'(-1) = 0

f'(1) = 0

Setze ich dies nun in f(x) bzw. f'(x) erhalte ich c=1. Aber danach kürzen sich die  Werte für a und b immer weg und ich erhalte dann 0.

In den Lösungen steht, dass das Ergebnis

f (x) = 0,5x⁴-x²+1

sein soll, aber das hilft mir nicht weiter.

? Am besten mit Erklärung. :-)

LG

Comments

"Bestimmen Sie die Gleichungen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für -1 < x < 1 beschreiben könnte" Kein ernst zu nehmender Straßenbauingenieur würde einen solchen Ansatz machen.

EDIT: Antwort in Kommentar umgewandelt.

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Soll der ja auch nicht, man kann die "Realitätskritik" auch übertreiben :-)

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Das ist keine hilfreiche Antwort, sondern höchstens ein Kommentar.

Answer 1

 f '(1) = 0  und  f(1) = 0,5

4·a·1³ + 2·b·1 = 0   und     a·1⁴ + b·1² + 1 = 0.5

4·a + 2·b = 0  und   a + b = - 0.5

 b = -2a  und b = -0,5 - a

-2a  = - 0,5 - a

→    a = 1/2 und b = -1    →  f (x) = 0,5x⁴- x²+ 1 

Gruß Wolfgang

Comments

Woher nimmst du f’(1) = 0?

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"mündet tangential in die Hauptstraße" bedeutet, dass die x-Achse eine Tangente in dem Punkt ist.

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Verstehe ich iwie gar nicht

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Sieht man doch auf dem Bild. Was verstehst du nicht?

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ich weiß einfach nicht woher diese ableitung kommt

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Tangente, Tangentensteigung, Steigung des Graphen, erste Ableitung? Begriffe klar und der Zusammenhang zwischen den Begriffen auch?

Answer 2

Es soll eine Funktion 4. Grades sein die Vermutlich symmetrisch zur y-Achse verläuft. Der allgemeine Funktionsterm lautet daher

f(x) = a·x⁴ + b·x² + c

f'(x) = 4·a·x³ + 2·b·x

Wir haben 3 Parameter und brauchen daher auch 3 Bedingungen

f(0) = 1 --> c = 1

f(1) = 0.5 --> a + b + c = 1/2 --> a + b = -1/2

f'(1) = 0 --> 4·a + 2·b = 0

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten a = 0.5 ∧ b = -1 ∧ c = 1

Die Funktion lautet daher

f(x) = 0.5·x⁴ - x² + 1

Comments

Woher nimmst du f’(1) = 0?

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"in A und B tangential in die geradlinige Hauptstraße mündet"

In A und B soll die (waagrechte) Hauptstraße Tangente an die Umgehungsstraße sein. Eine waagrechte Tangente bedeutet aber, dass die Ableitung 0 sein muss.

Answer 3

A$(-1|0,5)$ und B$(1|0,5)$  tangentialer Anschluss der beiden Punkten an die Hauptstraße. Ich verschiebe die beiden Punkte um $0,5$Einheiten nach unten:

A´$(-1|0)$ und B´$(1|0)$

Die beiden Extrema liegen nun auf der x-Achse. Es sind doppelte Nullstellen. Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4. Grades.

$f(x)=a(x+1)^2(x-1)^2$

C$(0|1)$→C´$(0|0,5)$

$f(0)=a(0+1)^2(0-1)^2=a=0,5$

$f(x)=0,5(x+1)^2(x-1)^2$

Nun um $0,5$Einheiten nach oben und Namensänderung.

$p(x)=0,5(x+1)^2(x-1)^2+0,5$