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Hallo zusammen, ich habe ein paar Fragen in Bezug auf folgende Begriffe:

- Steigung

- Tangente

- Sekante

- Momentane und durchschnittliche Änderungsrate

Ich würde  gern den gesamten Zusammenhang davon verstehen. Diese Frage bezieht sich ausschließlich auf Kurvendiskussion, Differentialrechnung und ähnliches.

Erstmal das, was ich schon weiß:

Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an. (richtig?). Aber ich suche präzise Antworten auf folgende Fragen:


Steigung

 - Berechnet man sie ausschließlich, indem man eine Funktion ableitet? Denn das ist anders, wenn man lineare Funktionen löst. Welche Wege gibt es, um die Steigung zu berechnen?

- Haben sämtliche bzw. beliebige Punkte an einem Graph eine Steigung? Oder nur Bestimmte wie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte?


Tangente

- Ich weiß, dass sie alle Punkte berührt und ihre Steigung je nach Verlauf positiv, negativ und 0 sein kann. Aber Was bedeutet die "Tangente der Steigung" und welche Bedeutung hat sie?

- Welche Funktion hat sie in der Regel, wenn man eine Funktion untersucht? Wie sähe das an einem konkreten Beispiel aus? (Lebenssituation, Wirtschaft, Wachstum, etc)

- Wie berechnet man die Tangente? Ist sie meistens vorgegeben? Muss ich sie herausfinden?

- Ist die Tangente das gleiche wie die Steigung?


Sekante

- Ich weiß, dass sie eine Kurve usw. in 2 Punkten schneidet. In welchem Zusammenhang steht sie mit der Tangente?

- Gleicht die Sekante der Steigung oder der Tangente?

- Bezieht sie sich auch auf die Steigung?


Momentane und durchschnittliche Änderungsrate

- Ich denke, dass die momentane ÄR sich auf die Steigung eines beliebigen Punktes an einem Graph bezieht (Tangente?), und dass die durchschnittliche ÄR sich auf die Steigung zwischen 2 Punkten bezieht (Sekante?). Ich könnte aber damit nicht viel anfangen... Was heißt das für mich? Sind meine Annahmen richtig? Inwiefern bezieht sich das auf die Untersuchung einer Funktion?

Ein Bild dazu: (Ich werde es besser verstehen, wenn ich ein mehr Klarheit verschaffe)

Bild Mathematik


Ich weiß, es sind viele Fragen... Aber ich wäre echt dankbar, wenn ich das verstehen, weil dieses Thema super wichtig für Analysis ist.

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an. (richtig?    Ja!). Aber ich suche präzise Antworten auf folgende Fragen:


Steigung

 - Berechnet man sie ausschließlich, indem man eine Funktion ableitet? Denn das ist anders, wenn man lineare Funktionen löst. Welche Wege gibt es, um die Steigung zu berechnen?


Das stimmt auch bei linearen Funktionen, denn wenn f(x) = m*x + n   gegeben ist,dann ist m die Steigung.   Das kennt man entweder schon aus  früheren Klassen oderman bestimmt es mit den Ableitungsregeln.

- Haben sämtliche bzw. beliebige Punkte an einem Graph eine Steigung? Oder nur Bestimmte wie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte?Für alle Punkte (x;y) bei denen   f an der Stelle x  differenzierbar ist,  hat der
Graph der Stelle x die Steigung f ' (x)


Tangente

- Ich weiß, dass sie alle Punkte berührt und ihre Steigung je nach Verlauf positiv, negativ und 0 sein kann. Aber Was bedeutet die "Tangente der Steigung" und welche Bedeutung hat sie? Du meinst "Steigung der Tangente im Punkt (x;y) ", das  ist auch wieder  f ' (x) .

Die Tangente selber ist die Gerade mit dieser Steigung durch den Punkt P

- Welche Funktion hat sie in der Regel, wenn man eine Funktion untersucht? Wie sähe das an einem konkreten Beispiel aus? (Lebenssituation, Wirtschaft, Wachstum, etc)

Die Tangente ist eine Gerade, hat also eine Funktionsgleichung der Art t(x) = m*x + n

Das m ist f '  (x)   wobei das x die erste Koordinate des Berührpunktes ist.Die zweite Koordinate des Berührpunktes erhält man durch  y=f(x)   . Es muss also nur der

x-Wert ( sog. Stelle) vorgegeben sein.  Wenn du m hast und die Koordinaten (x;y) setzt du diese

3 Werte ein bei  t(x) = m*x + n  und berechnest n.  Dann hast du die Tang-Gleichung.

- Wie berechnet man die Tangente? Ist sie meistens vorgegeben? Muss ich sie herausfinden?

- Ist die Tangente das gleiche wie die Steigung?   Nein, sie ist eine Gerade, die Steigung eine Zahl.


Sekante

- Ich weiß, dass sie eine Kurve usw. in 2  (oder mehr)  Punkten schneidet. In welchem Zusammenhang steht sie mit der Tangente?

- Gleicht die Sekante der Steigung oder der Tangente?    Wenn zwei Punkte sehr nah beieinander liegen

ist die Sekantensteigung ungefähr gleich der Tangentensteigung

- Bezieht sie sich auch auf die Steigung?


Momentane und durchschnittliche Änderungsrate

- Ich denke, dass die momentane ÄR sich auf die Steigung eines beliebigen Punktes an einem Graph bezieht (Tangente?),   genauund dass die durchschnittliche ÄR sich auf die Steigung zwischen 2 Punkten bezieht (Sekante?).Ja

Ich könnte aber damit nicht viel anfangen... Was heißt das für mich? Sind meine Annahmen richtig?
Ja

Inwiefern bezieht sich das auf die Untersuchung einer Funktion? Etwa so:  Wenn du einen Hochpunkt

suchst, muss dort die Steigung 0 sein, also Ansatz  f ' (x) = 0.  etc.  Mit den Methoden,die ihr dazu gelernt habt.

von 152 k

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