Vektoren. Teilverhältnis der Strecke AB gesucht

Question

Hallo.

Bestimmen Sie, in welchem Verhältnis der Punkt T die Strecke AB (mit Strich oben) teilt.

A (-6 I 7 I 12), B (4 I 37 I 62), T (2 I 31 I 52)

Vielleicht die Lösung auch kurz kommentieren.

Comments

Verhältnisse kennst du von den Strahlensätzen und von den trigonometrischen Funktionen.

https://www.matheretter.de/wiki/strahlensatz

und hier das erste Video

https://www.matheretter.de/wiki/kosinussatz

Du kannst den 1. und den 2. Strahlensatz benutzen, um diese Aufgabe einfach zu machen.

Answer 1

Bilde die Vektoren  AT  und  TB   und  löse die Gleichung

AT  =  x *  TB   .

Das x ist dann das Teilverhältnis  .

Hier wäre das 

wegen A (-6 I 7 I 12), B (4 I 37 I 62), T (2 I 31 I 52)

( 8 ;  24 ;   40 )  =   x  *   (   2  ;   6  ;    10  )  

also  x = 4   damit teilt T die Strecke AB im Verh.  4 : 1 .

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Vielen Dank                                              

Answer 2

 A (-6 I 7 I 12), 
 T (2 I 31 I 52), 

B (4 I 37 I 62),

Wegen den Strahlensätzen weisst du, dass die Teilung in jeder Koordinate separat dasselbe Verhältnis ergeben muss.

Also berechne
Verhältnis k = | AT| : | TB |            (nur der x-Koordinate)
| 2 - (-6) | : | 4 - 2|  = | 8 | : | 2 | = 4 : 1.
A (-6 I 7 I 12), 
 T (2 I 31 I 52), 

B (4 I 37 I 62),

Dasselbe Verhältnis muss auch mit der y-Koordinate und mit der z-Koordinate rauskommen.

Hier mal noch mit der y-Koordinate

k =  |31 - 7 | : | 37 - 31 | = 24 : 6 = 4 : 1

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Vielen Dank

Answer 3

Der Punkt T teilt die Strecke AB im Verhältnis |AT| zu |BT|.

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Vielen Dank