Umkehrfunktion bestimmen von f(x) = (x-1)/x

Question

ich möchte die Umkehrfunktion von f(x) = (x-1)/x bilden.

Dafür muss ich ja zuerst nach x auflösen, und dann x und y vertauschen, aber ich bekomme nie beide x auf die gleiche Seite...

!! :D

Answer 1

y = ( x-1 ) / x 

xy = x - 1


xy - x  =  -1 


x  -   xy =  1 


x * ( 1 - y ) = 1 

x  =  1  /  ( 1 - y )  

Answer 2

f(x) =  y = (x-1) / x      D_f = ℝ \ {0} 

y und x  Namen vertauschen (damit der Funktionsterm von f^-1 wieder y heißt):

x = (y-1) / y    | * y

x*y = y - 1    | -y

x*y - y = -1

y ausklammern:

y *(x - 1) = -1

durch Klammer dividieren (x ≠1)

y = -1 / (x -1) , also:

 f^-1(x) = -1 / (x-1)   ist die Vorschrift der Umkehrfunktion  

 D_f^-1 = ℝ \ {1}  ist ihr Definitionbereich 

Gruß Wolfgang

Answer 3

So gehts eventuell etwas schneller

y = (x - 1)/x

y = 1 - 1/x

1/x = 1 - y

x = 1/(1 - y)

Weiterhin sieht man hier recht gut wie Brüche vereinfacht werden bei denen nur ein x im Nenner steht. Das geht übrigens recht gut solange keine Summe oder Differenz im Nenner steht.