Substitution oder doppelte Substitution beim Integrieren von f(x) = x^2 /(1+x^2)

Question

Hallo ich habe Schwierigkeiten bei der Substition.

Ich habe die folgende Aufgabe versucht folgendermaßen zu lösen :

Aber ich verstehe nicht was ich mit diesem x machen soll . Das müsste doch weg und nur z müsste doch als variable stehen.

Answer 1

Hallo Ak14,

Dieser Online-Integralrechner  zeigt dir auch den Rechenweg.

Gruß Wolfgang

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Super Danke. Habe ich mir als Hilfe genommen

Answer 2

Wenn Du das so rechnen willst, mußt Du z=x^2 nach x umstellen.

Ich empfehle  Dir diesen Weg.

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Jaa das habe ich am Ende dann auch so gemacht. Ich war nur verwirrt und wollte esmit der Substitution machen, kam aber halt dann nicht zum Ziel.

Aber woher soll ich wissen, wann ich die Substituiert anwenden soll.

Also ich habe es mir jetzt so gedacht : wenn ich einen bekannten Term sehen bzw. irgendwie durch auseinander pflücken oder vereinfachen kann, wie zB halt dieses 1/ 1+x^2 dann muss ich keine Substitution anwenden. Aber wenn es wirkt etwas sehr komplexes ist, dann Substituieren.

Richtig so?

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Ein generelles Rezept gibt es nicht . Es bedarf viel Übung .

Answer 3

aus z=x^2 folgt x=±√z. Damit hast du aber nichts erreicht.

Dieses Integral löst man mit Bruchumformung.

x^2/(1+x^2)=(x^2+1-1)/(1+x^2)=1-1/(1+x^2)

Dann musst du bloß noch wissen

d/dx arctan(x)=1/(1+x^2)

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Super

Zur obigen Antwort habe ich ein Kommentar gemacht,  es wäre mir hilfreich, wenn du auch was dazu könntest danke

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Ganz allgemein kann man das nicht sagen.

Die Substitutionsregel ist ja eine Umkehrung der Kettenregel.

Einfache Beispiele sind Integrale der Form.

$$ \int g'(x)f'(g(x))dx=f(g(x))+C$$

Eine genaue Regel, wann man substituieren muss,gibt es nicht. Geeignete Substitutionen findet man mit Erfahrung oder durch Probieren.

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Hmm ok verstehe.  Dankeschön