Prüfen, ob Menge eine Gruppe ist mit Hilfe der Axiome

Question

Wir haben eine Menge G:(a,b)

Und folgende zugehörige Verknüpfungstafel

°(+)      a      b

a          a      b

b          b       a

Jetzt sollten wir zeigen, dass die Gruppenaxiome gelten also Assoziativgesetz, kommutativgesetz, neutrales und Inverses Element.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich das Anhand der Tabelle prüfen kann...Wir haben das in der Vorlesung gemacht und kann es jetzt absolut nicht nachvollziehen.

Z.b Assoziativgesetz ist ja (a+b)+c = a+(b+c)

Doch wie soll ich das jetzt überprüfen?

Answer 1

Assoziativgesetz ist ja (a+b)+c = a+(b+c)

Nimm andere Buchstaben für das Gesetz, das du prüfen willst:
 (x+y)+ z = x + (y+z)
und setze nun alle Möglichkeiten ein, die du für x, y und z hast.
Also (a+a)+a = ? = a+(a+a)  ;
 (b+a)+a = ? = b + (a+ a) usw. 
Klammern jeweils über die Tabelle als Erstes ausrechnen und dann noch das dritte Element addieren.

Comments

Danke:) mit kommutativgesetz und Assoziativgesetz habe ich es verstanden...

Ist es beim neutralen sich, dass ich dann erstmal a als 0 definieren muss, dann ist ja b+0=b und dann definiere ich b als 0 und habe b+0 =b?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Definition

Du musst nur zeigen, dass es EIN neutrales Element gibt, mit x*e = e*x = x

Nimm nun z.B. e=a.

und rechne nach (mit der Tabelle)

 a*e = a ?

 e*a = a ?

 e*b = b?

b*e= b?

Wenn das alles stimmt, bist du mit der Existenz von e fertig.

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Übrigens Eine Menge kann keine Gruppe sein. Eine Gruppe ist immer eine Menge mit einer auf ihr definierten Verknüpfung. Also ein Paar aus Menge und Verknüpfung.