Question

Aufgabe:

$$ln(-1-i) = ln(z),\quad z = r*{ e }^{ i\phi }$$

$$r = \sqrt { (-1)^{ 2 }(-1)^{ 2 } } =\sqrt { 2 }$$

$$\phi =arctan(\frac { -1 }{ -1 } ) = \frac { 5 }{ 4 } \pi$$

Jeder Rechner zeigt mir für $$arctan(1) = \frac { \pi }{ 4 }$$

an doch wieso ist $$\phi == \frac { 5 }{ 4 } \pi \quad und \quad nicht \quad \frac { \pi }{ 4 }$$

Zumindest zeigt mir Wolframalpha nur bei (-1-i) == sqrt(2)e^i(5/4)pi true and und bei (-1-i) == sqrt(2)e^i(pi/4)

false an. Nun weiter zu der Rechnung

$$z\quad =\quad \sqrt { 2 } { e }^{ i\frac { 5 }{ 4 } pi }$$

$$\log _{ 3 }{ (z)\quad =\quad \ln { r\quad +\quad i(\phi +2*k*\pi ) } }$$

$${= \quad \ln { \sqrt { 2 } +\quad i(\frac { 5 }{ 4 } \pi \quad +\quad 2*3*\pi ) } }$$

$$=ln\sqrt { 2 } +\frac { 29 }{ 4 } \pi i$$

Wo habe ich den Fehler gemacht? Wieso geben mir die Rechner bei arctan(1) = pi/4 aus und z != sqrt(2) e^i(pi(4))?

Answer 1

die Formel φ=arctan(b/a) gilt nicht, da z im 3ten Quadranten liegt.

Siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Fo…

φ=arctan(b/a)-π=-3/4π

Das ist äquivalent zu φ= 5π/4, da -3/4π+2π=5π/4

Comments

kannst du mir sagen was an der restlichen aufgabe falsch ist?

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Beachte folgendes: die Exponentialfunktion wird der Umkehrbarkeit wegen auf dem Fundamentalstreifen

S={x+iy:x∈ℝ,-π<=y<=π} definiert. Das ist der Hauptzweig. Rechnest du den ln(z) mit der Phase φ=5π/4 , landest du nicht im Fundamentalstreifen. Nimm deshalb φ=-3π/4.

ln(-1-i)=ln(√2*e^-i*3π/4=ln(√2)+ln(*e^-i*3π/4)=ln(√2)-i*3π/4

Um den 3.Zweig zu berechnen, musst du den Imaginärteil nochmal um 3*2*π erhöhen.

ln₃(-1-i)=ln(√2)+i(-3π/4+3*2*π)=ln(√2)+i*21π/4

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was müsste ich googeln um mich weiter zu informieren und das mit dem 3*2*pi zu verstehen? genauso wie das mit -3pi/4 und nich 5pi/4 ? danke für deine hilfe && ein schönes wochenende :)

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Das müsstet ihr eigentlich in der Vorlesung kennengelernt haben, kannst aber auch hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus

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also man verschiebt nur das argument in das gebiet wo auch der betrag ist? mehr nicht? oder bin ich komplett falsch? bezogen auf pi/4 5pi/4 ganz am anfang um das arugment zu berechnen