M ist Unterraum von M(3;3) (R)? und Erzeugendensystem von M wählen

Question

Habe die Matrix

$$ M =  \begin{pmatrix}  0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} | a, b, c \in R \\ M \subseteq { M }_{ 33 } (R) $$

Ich soll beweisen dass M ein unterraum von M₃₃ (R) ist.

ich habe jetzt:
M ist antisymmetrisch:

$$A = -({ A })^{ T } \\ (A + A') = -({ A + A' })^{ T } = - ( { A }^{ T } + { A' }^{ T }) = -{ A }^{ T } -{ A' }^{ T } = A + A' \\ (\alpha * A) = (\alpha * -({ A })^{ T })  = \alpha * -({ A })^{ T } = \alpha *(A)$$

und das Nullelement 0_3,3 ∈ R mit (a, b, c)=0 ist enthaltenist es das was ich dabei beweisen soll und es das richtig geschrieben? habe immer mal probleme mit den klammern setzen.
Wenn ich ein Erzeugendensystem wählen soll für M in 3 Matrizen, und würde einfach aus der matrix die drei spaltenvektoren benutzen mit 0 auffüllen und vorher beweisen dass die drei spaltenvektoren linear unabhängig sind, reicht das aus?

Answer 1

Du sollst klären, ob die Matrix einen Unterraum definiert. Du sollst keine Basis, und dass die Matrix antisymmetrisch ist, nehmen wir zur Kenntnis.

Kriterien für einen Unterrraum sind:

Gegeben ist ein Vektorraum \( V \). \( U \) ist Unterraum, wenn

(1) \( au \in U \)

(2) \( u_1+u_1 \in U \)

mit \( u,u_1,u_2 \in U \) und \( a \in \Bbb R \).

Dein Vektorraum ist \( M(3\times3; \Bbb R) \), Dein Unterraum ist die Matrix \( M \). Also prüfe die Bedingungen, d.h. ob Skalarmultiplikation und Matrixaddition wieder eine Matrix des gleichen Typs erzeugen.

(Hinweis: Man prüft als erstes, ob das Nullelement -- d.h. bei Dir die Nullmatrix -- im Unterraum existiert. Dabei ist das völlig überflüssig, da dies durch Regel (1) zwangsweise immer so sein muss.)

Grüße,

M.B.

Comments

ja gleichen typs und das heißt gleichen typ antisymmetrisch.

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(1) \(au\in U\) impliziert bereits (2) \(u_1+u_1\in U\).

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wie kommst Du auf diese absurde Idee???

(1) ist die Multiplikation zwischen einem Skalar und einem Element des Unterraums, (2) ist die Addition zwischen zwei Elementen des Unterraums.

Grüße,

M.B.

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Ist vielleicht \(u_1+u_1=2u_1\)?

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ich nehme an, Du weißt ganz genau, dass das eigentlich \( u_1+u_2 \) heißen soll.

Wenn ich hier anfinge, jeden Rechtschreibfehler, Deutschfehler, etc. zu korrigieren, wäre ich die nächsten Jahrhunderte beschäftigt.

(Und selbst wenn es \( u_1+u_1 \) hieße wären (1) und (2) nur für \(a=2\) identisch, nicht für alle anderen.)

Grüße,

M.B.

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Niemand behauptet, dass (1) und (2) identisch sind.

Answer 2

> Habe die Matrix

Dann ist das kein Unterraum, sondern eine Matrix. Ich vermute du meinst \(M = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} | a, b, c \in \mathbb{R} \right\} \subseteq { M }_{ 33 } (\mathbb{R})\). Das ist ein Unterraum.

Ich weiß nicht was das mit der Antisymmetrie soll. Die Matrizen in M sind antisymmetrisch und die Menge aller antisymmetrischen Matrizen bilden einen Unterraum. Und M ist zufälligerweise die Menge aller antisymmetrischen Matrizen. Normalerweise zeigt man aber Unterraumeigenschaft indem man zeigt

1. M ist nicht leer
2. M ist abgeshlossen bezüglich Addition
3. M ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation mit Skalaren.

\( \left\{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \right\}\) ist eine Basis von M.

Comments

ja danke das wollte ich wissen, und das habe ich ist das kein erzeugendensystem?

( 0 , 0 , 0 ;

 -1 , 0 , 0 ;

 -1 , 0 , 0 )

( 0, 1 , 0

 0 , 0 ,  0

 0 , -1 , 0 )

( 0 , 0 , 1

 0 , 0 , 1

0 , 0 , 0 )

---

ok ich habe es verstanden ja es ist keines wenn ich das vielfache bilde kann ich nicht für alle a,b, c jeweils werte zuweisen und habe dann -a =-b ...