Es sei X eine Menge und A,B seien Teilmengen von X. Man beweise die folgenden Äquivalenzen.

Question

a) A = X ⇔ X \ A = ∅

Zu a): Ich dachte, dass ich einfach für X "A" einsetzen könnte, so würde sich die leere Menge erklären.

b) A ⊂ B ⇔ A∪ B = B ⇔ A ∩ B = A

Zu b): Hier wollte ich ebenfalls "einsetzen".

Leider verstehe ich nicht, wie ich den Beweis aufschreiben soll.

Answer 1

a) A = X ⇔ X \ A = ∅

Zu a): Ich dachte, dass ich einfach für X "A" einsetzen könnte, so würde sich die leere Menge erklären.

Für die Richtung  ⇒ ist das OK, dann hast du ja als Vor.  A=X und kannst einsetzen.

Umgekehrt hast du     X \ A = ∅   und musst daraus   A = X herleiten. 

Und die Gleichheit von Mengen zeigt man meistens so:

Sei n aus der ersten Menge, dann ....  muss es in der zweiten sein,

und  umgekehrt-

Hier etwa so:          Vor.:     X \ A = ∅

Sei nun n ∈ A.  Wegen  A ⊆ X ist also auch   n  ∈  X. 

[ Für diese Richtung brauchst du also die    Vor.:     X \ A = ∅

gar nicht,  weil   A ⊆ X ja sozusagen die Generalvor. ist. ]

Sei umgekehrt  n ∈ X.   Wegen    X \ A = ∅  muss also 

gelten    n ∈ A .   ( Denn die Alternative n ∉X ist ja ausgeschlossen.)

Also ist  "
Sei n aus der ersten Menge, dann ....  muss es in der zweiten sein,

und  umgekehrt " bewiesen.

Ganz so ausführlich muss man es nat. nicht immer machen, aber ich

vermute du stehst noch recht am Anfang, und da kann man sowas

ruhig mal etwas üben.

Weiterhin viel Erfolg !

Kannst ja auch mal dort schauen:

https://www.mathelounge.de/386155/beweise-naive-mengenlehre?show=386163#a386163