Konvergenzradius einer Reihe (Frage zur Lösung)

Question

Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\left(n^{2}\right)}} x^{n} \)
Mit dem Wurzelkriterium gilt
$$ \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^{\left(n^{2}\right)}}\right|}=\sqrt[n]{\frac{1}{2^{\left(n^{2}\right)}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{2^{\left(n^{2}\right)}}}=\frac{1}{2^{\frac{n^{2}}{n}}}=\frac{1}{2^{n}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 $$
Damit ist der Konvergenzradius \( \infty \).

Mir ist eigentlich nur der letzte Satz nicht klar. Die Folge geht gegen 0, okay. Aber warum ist der Konvergenzradius jetzt unendlich? Irgendwie dachte ich, dass der Konvergenzradius dem Grenzwert entsprechen würde... aber dem scheint nicht so.

Answer 1

Es ist

 

r=1/(lim sup ⁿ√|a_n|)

 

Das Ergebnis von Dir braucht also noch den Kehrwert -> r=1/0=∞, wenn ich das mal so visuell aufschrieben darf.

 

Grüße

Comments

Verstehe ich das richtig?

In dem Fall, dass da 0 als Grenzwert herauskommt, lautet der Konvergenzradius = ∞ ...

Wäre der Grenzwert 0,5 gewesen, wäre der Konvergenzradius dann  auch einfach 2 ?

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Yup, das ist richtig ;).