Extremalaufgabe mit Nebenbedinungen. Bestimmen Sie den Abstand des Ellipsoids E von der Fläche F

Question

! Ich habe die folgende Aufgabe und bitte um Hilfe :

Gibt es eine Formel dazu ?

Answer 1

Ja, dazu gibt es eine Formel. Sie lautet d = 10/√3, wobei d der Abstand zwischen E und F ist.

Comments

kannst du eine Rechnung zu der Aufgabe schreiben ?

---

Reicht eine Beschreibung, wie du es selbst rechnen kannst?

---

Ja es reicht

---

Da ich die Formel nicht kenne , und mir wird nicht klar nur mit dieser Rechnung :
d = 10/√3

---

Der Vektor (1 1 1)^T steht senkrecht auf der Ebene F (weil 1, 1 und 1 die Koeffizienten vor den x, y, und z in der Koordinatenform der Ebene sind).

Der Vektor (1/√3 1/√3 1/√3)^T steht senkrecht auf er Ebene F und hat die Länge 1.

Die Gerade g: (x y z)^T + t(1/√3 1/√3 1/√3)^T verläuft durch den Punkt P(x|y|z) und steht senkrecht auf er Ebene F.

Jeder Punkt P_F der Ebene F lässt sich durch P_F(x_F|y_F|16-x_F-y_F) für geignete x_F, y_F darstellen.

Löst man das Gleichungssystem

        (x y z)^T + t(1/√3 1/√3 1/√3)^T = (x_F y_F 16-x_F-y_F)^T

nach den Variablen t, x_F, y_F auf, dann bekommt man u.a.

        t = (x+y+z-16)/3.

Weil g senktecht zu F ist und dessen Richtungsvektor die Länge 1 hat ist dieses t der Abstand des Punktes P(x|y|z) zur Ebene F.

Die Funktion d(x,y,z) := (x+y+z-16)/3 muss unter der Nebenbedingung minimiert werden, dass P(x|y|z) auf dem Ellipsoid E liegt.

Lagrange-Funktion dazu ist

        L(x,y,z,λ) := (x+y+z-16)/3 - λ(x² + y² + 4z² - 16).

Bestimme die partiellen Ableitungen dieser Funtion, setze sie = 0 und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Werte für x, y, z sind dann Kandidanten für die Punkte auf der Ellipse, die der Ebene am nächsten sind. Setze in die Funktion d ein um zu bestimmen welcher Kandidate am nächsten zu Ebene ist.