distributivität von mengen beweisen

Question

Gegeben seien die Mengen A, B, C. Zeigen Sie, dass die Distributivität von ∪ und ∩ sowie die erste De Morgansche Regel gilt, also

A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)    und (A∪C)^C = A^C ∩ B^C

Wir haben diese Formeln heute kennengelernt, aber nicht weiter damit gerechnet. Ich weiß nicht so recht wie ich hier beginnen muss.

Vielleicht kann mir jemand ein paar Ansätze nennen.

Answer 1

Mengengleichheit zeigt man meistens so:

Sei x aus der ersten Menge, dann ist es auch in der 2.

und

Sei x in der 2. Menge, dann auch in der ersten.

Hier etwa so:

Sei x aus A ∪ (B∩C)

Dann x in A oder x in  B∩C

also x in A oder  ( x in B und x in C ) 

also ( xin A oder x in B )   und  ( x in A oder x in C )

also x in    (A∪B) ∩ (A∪C)  

Umgekehrt so ähnlich.

Comments

ok. Eine ähnliche Frage habe ich noch, im Prinzip das selbe wie die Aufgabe hier.

Gegeben seien die Mengen A, B, C. Zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 1 (das ist die Aufgabe wo du gerade beantwortet hast) und geeigneter Komplementbildung, dass dann auch die Distributivität von ∩ gilt, also

A∩(B∪C) = (A∩C) ∪ (A∩C)

Wie ist das hier mit Komplementbildung gemeint?

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Das Komplement von A - hier wohl mit A^C bezeichnet, ist die

Menge aller Elemente, die NICHT in A sind.

Und wenn du bei

A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) 

die Komplemente bildest also

(A ∪ (B∩C) )^C  = ((A∪B) ∩ (A∪C) )^C  dann ist

das  wegen De Morgan 


A^C ∩ (B∩C)^C   =   ((A∪B)^C  ∪ (A∪C)^C 


und dann nochmal :

A^C ∩ (B^C   ∪ C^C  ) =   (A^C ∩ B^C )  ∪ (A^C ∩C^C  )

Und dann geht das Argument wohl so:

Da jede Menge das Komplement einer Menge ist,ist die Gleichung damit bewiesen.