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ich soll nun meinen allerersten Beweis in der Mengenlehre führen.

Darunter die Morganschen Regel:

L ∩ (M ∪ N) ⇔ (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)

Mein Ansatz:

x ∈ L ∩ (M ∪ N)

⇔ (x ∈ L) v  (x ∈ M Λ N)


v=logisches Oder

Λ=logisches Und

Ist mein Ansatz bis jetzt richtig? Und wie geht es nun weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe :)

von 8,7 k

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo Fronliner (alter Kumpel :-),

L ∩ (M ∪ N) ⇔ (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)  ist keines der beiden Gesetze von de Morgan (#) sondern eines der beiden Distributivgesetze für ∩ bzw. ∪.

Sei l := x∈L ; m:= x∈M ; n := x∈L

Dann gilt 

L ∩ (M ∪ N) ⇔ (L ∩ M) ∪ (L ∩ N) 

⇔  l ∧ ( m ∨ n ) ↔ ( l ∧ m) ∨ ( l ∧ n )        [ nach Definition von ∩ bzw. ∪ ]

Das ist eines der beiden  Distributivgesetze für ∧ bzw. ∨

Wenn du diese nicht verwenden darfst, sehe ich nur noch die Möglichkeit des grundlegenden Beweises mit einer Wahrheitstafel:

[ die Farben in den Zeilen der WT dienen nur der besseren Orientierung ]

l m n     m∨n   l∧(m∨n)         l∧m       l∧n            (l∧m) ∨ (l∧n)

0 0 0       0            0                   0            0                         0

0 0 1       1            0                   0            0                         0

0 1 0       1            0                   0            0                         0

0 1 1       1            0                   0            0                         0

1 0 0       0            0                   0            0                         0

1 0 1       1            1                   0            1                         1

1 1 0       1            1                   1            0                         1

1 1 1       1            1                   1            1                         1

Da diese aussagenlogischen Terme für alle Belegungen mit Wahrheitswerten übereinstimmen, sind sie gleichwertig.

-------

#  Gesetze von de Morgan:

\(\overline{A∩B}\) = \(\overline{A}\) ∪ \(\overline{B}\)    bzw.    \(\overline{A∪B}\) = \(\overline{A}\) ∩ \(\overline{B}\)

Gruß Wolfgang

von 80 k

Hallo Wolfgang! (Lange nicht gesehen :))

Die Regel hab ich wohl mit den Gesetzen von de Morgan vertauscht (Ups). Vielmehr soll ich nämlich beweisen, dass hier das Distributivgesetz gilt. Danke für den Hinweis!

Verstehe! ∩ und ∪ kann man also in ∧ und v umwandeln. Das macht auch Sinn, wenn ich mir die Ausdrücke mal so aufschreibe :)

Die Äquivalenz beweist man dann über Wahrheitstabellen, da man ja jetzt zwei logische Aussagen hat. Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Wolfgang. Du hast mir wirklich weitergeholfen! :)

+1 Punkt

x ∈ L ∩ (M ∪ N)

⇔ (x ∈ L) ∧   (x ∈ M    ∨  x ∈   N)


wohl eher so !

von 163 k

Danke mathef, du hast natürlich Recht!

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