Ist mein Beweis für (ab)^{-1}= a^{-1}*b^{-1} okay

Question

Z-z.: (ab)^{-1}= a^{-1}*b^{-1}

(a*b)*(a^{-1}*b^{-1} | Assoziativgesetz

= a*b*a^{-1}*b^{-1}| Kommutativgesetz

=a*a^{-1}*b*b^{-1} |a*a^{-1}=1 und b*b^{-1}=1

=1*1 |1*1=1

=1

Hallo es geht um eine Folgerung aus den Körperaxiomender reelle Zahlen, wollte nur wissen ob mein Beweis auch okay ist?

Hier der Musterbeweis:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Folgerungen_der_K%C3%B6rperaxiome#Weitere_Eigenschaften_f.C3.BCr_Negatives_.2F_Inverses

Der Unterschied ist minimal, aber man weiß ja nie.

Answer 1

Du hast gezeigt, dass (ab)(a^-1b^-1) = 1 ist, dass also (ab) und (a^-1b^-1) zueinander invers sind. Du solltest aber zeigen, das (ab)^-1 = a^-1b^-1 ist, dass also a^-1b^-1 ein ganz bestimmtes inverses von (ab) ist. Dazu müsstest du die Gleichung (ab)(a^-1b^-1) = 1 noch von links mit (ab)^-1 multiplizieren. Eventuell hast du aber schon früher mal gezeigt, dass es zu jedem Element nur ein inverses geben kann, dann erübrigt sich dieser Schritt. Auf jeden Fall solltest du dann aber in deinem Beweis darauf hinweisen.