3te und 8te Einheitswurzel finden

Question

Wie finde ich die 3te und die 8te Einheitswurzel einer Komplexen Zahl?

Answer 1

habe irgendwann einmal eine allgemeinere Anleitung dazu verfasst:

Lösungen  der komplexen Gleichung zⁿ = w      [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

Bei dir ist w = 1 , |w| = r = 1 und  φ_w = 0  

(du hast also weniger zu tun, als im Text angegeben) 

[ w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus den Formeln

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für  z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

Kontrolllösungen:

z  =  ³√1

z = - 1/2 - √3·i/2   ∨   z = - 1/2 + √3·i/2   ∨   z = 1

z =  ⁸√1 

z = - √2/2 - √2·i/2   ∨   z = - √2/2 + √2·i/2   ∨   z = √2/2 - √2·i/2   

∨   z = √2/2 + √2·i/2   ∨   z = -i   ∨   z = i   ∨   z = -1   ∨   z = 1

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Wenn du dann zeichnen musst:

Dann hast  du den Betrag ⁿ√r  und den Winkel φ₀ = arccos(φ_w / n)  von z₀ . 

φ₀ musst du vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen   [ GM  =  BM · 180° / π ]

 Damit kannst du den Pfeil von z₀ in der komplexen Zahlenebene einzeichnen 

( |z₀| = Länge, φ₀ = Winkel mit der positiven x-Achse).

Jetzt drehst du diesen Pfeil insgesamt  (n-1)-mal immer um φ₀ weiter und erhältst die Pfeile von z₁ bis z_n-1

Gruß Wolfgang