Einheitswurzel Abelsche Gruppe Beweis

Question

Aufgabe:

Zeige das die n'te Einheitswurzel

$a=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k}$

mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe bildet. Zeige dafür: Neutrales Element, Assoziativität, Kommutativität und Inverse

Problem/Ansatz:

wie gehe ich im Fall Einheitswurzeln da vor?

kann mir da jemand erklären wie das hier funktioniert?

vg coffee.cup

Answer 1

Es geht ja sicher um die Menge aller N-ten Einheitswurzeln

$a_k=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k}$ für k∈ℕ_o.

Zeige dafür: Neutrales Element, Assoziativität, Kommutativität und Inverse

und sicherlich auch Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation.

Die ist gegeben, weil für $a_k=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k}$ und $a_h=e^{\frac{i 2 \pi}{N} h}$ gilt

$a_k \cdot a_h =e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} h} =e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+h) }$.

Neutrales Element ist $a_0=e^{\frac{i 2 \pi}{N} \cdot 0}$

Assoziativität : $(a_k \cdot a_h ) \cdot a_g =(e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} h} ) \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} g }$

$=e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+h)} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} g } =e^{\frac{i 2 \pi}{N} ((k+h)+g)}$

und wegen der Assoziativität in (ℕo ; + ) gilt

$=e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+(h+g))} =e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} (h+g)} =a_k \cdot (a_h \cdot a_g )$.

Kommutativität überträgt sich entsprechend von (ℕo ; + )

und Inverses zu a_k ist a_N-k wobei k>N ausgeschlossen werden kann,

da a_k = a_{k mod N} .

Answer 2

$z$ ist eine $N$-te Einheitswurzel $\iff z^N=1$.

Damit ist $W_N:=\{z\in \mathbb{C}: \; z^N=1\}$ die Menge der

$N$-ten Einheitswurzeln.

Ich benutze das Untergruppenkriterium

für $W_N$ als Teilmenge der Gruppe $\mathbb{C}^*$

mit der induzierten Verknüpfung:

$1\in W_N$, also $W_N\neq \emptyset$.

$z_1,z_2\in W_N\Rightarrow (z_1z_2^{-1})^N=z_1^N(z_2^{-1})^N=$

$=1\cdot (z_2^N)^{-1}=1\cdot(1)^{-1}=1\Rightarrow z_1z_2^{-1}\in W_N$,

q.e.d.